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| Autor |
  Taylor-Reihe |
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kathi
Junior 
Dabei seit: 18.04.2003
Mitteilungen: 16
Wohnort: Rostock an der Ostsee
 |  Themenstart: 2003-04-27
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Schönen guten Abend!
Hab hier ein schwerwiegendes Problem:
Folgende Aufgabe:
Berechne die Talor-Reihe der Funktion f mit Entwicklungspunkt 0.
f(x)=(5x-12)/(x^2-5x+6), IxI<2!
Hab auch einen Tip bekommen:x^2-5x+12=(x-2)(x-3). Nun soll man Konstanten A,B finden, für die folgendes gilt:
(5x-12)/(x^2-5x+6)=A/(x-2)+B/(x-3).
Hab überhaupt keinen Schimmer...
Wer kann mir einen heißen Tip geben?
Schon mal danke im Voraus!
[ Nachricht wurde editiert von kathi am 2003-04-27 19:33 ]
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 Profil
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SchuBi
Senior 
Dabei seit: 13.03.2003
Mitteilungen: 19409
Wohnort: NRW
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2003-04-27
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Der Tip heißt Partialbruchzerlegung.
f(x)=(5x-12)/(x^2-5x+6)
=A/(x-2)+B/(x-3)
Für jede der beiden Funktionen ist es einfach eine Taylorreihe anzugeben, da du sie einfach ableiten kannst im Gensatz zur Ausgangsfunktion f(x).
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Anonymous
Unregistrierter Benutzer
|  Beitrag No.2, eingetragen 2003-04-27
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Das hab ich gemacht!dann kommt aber ganz zum Schluss ein richtig kompliziertes Integral raus und da weiss ich nicht weiter...
Kannst mir nicht helfen?
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SchuBi
Senior
Dabei seit: 13.03.2003
Mitteilungen: 19409
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| Beitrag No.3, eingetragen 2003-04-27
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Es geht doch nicht darum, ein Integral zu berechnen. Statdessen sollst du die Ableitungen möglichst einfach berechnen.
Also, ich hab als Partialbruchzerlegung:
f(x)=2/(x-2)+3/(x-3)
#Damit ergibt sich für die Ableitung von:
(1/(x-2))^(n)=(-1)^n|n!/(x-2)^(n+1)|sowie
(1/(x-3))^(n)=(-1)^n|n!/(x-3)^(n+1)|
#und damit für die Ableitung von f(x)
f^(n)(x)=(2/(x+2)+3/(x-3))^(n)
=2*(-1)^n*n!/(x-2)^(n+1)+3*(-1)^n|n!/(x-3)^(n+1)
=(-1)^n*n!(2/(x-2)^(n+1)+3/(x-3)^(n+1)
#Jetzt die Taylorentwicklung in x=0:
#(Die Restgliedgeschichte schenke ich mir!)
f(x))=sum(f^(n)(0)/n!|(x-0)^n,n=1,\inf)
=sum((-1)^n|(2/(0-2)^(n+1)+3/(0-3)^(n+1))|(x-0)^n,n=0,\inf)
=sum((-1)^n|(2/(-2)^(n+1)+3/(-3)^(n+1))|x^n,n=0,\inf)
=sum(-(1/2^n+1/3^n)|x^n,n=0,\inf)
=-sum((1/2^n+1/3^n)|x^n,n=0,\inf)
Diese Tayloreihe hat den Konvergenzradius 2.
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kathi
Junior
Dabei seit: 18.04.2003
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Wohnort: Rostock an der Ostsee
|  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2003-04-27
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Mit meinen Kommilitonen bin ich mittlerweile auch schon so weit gekommen, aber warum betrachtest du das Restglied nicht?
Tut mir leid, dass ich mich so blöd anstelle, aber in unseren Vorlesungen ist nix zu verstehen....
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N-man
Senior
Dabei seit: 15.10.2002
Mitteilungen: 2579
Wohnort: Zürich
 | Beitrag No.5, eingetragen 2003-04-27
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Hallo.
Man kann bei der Aufgabe auch eine kleine Abkürzung nehmen. D.h. man kann die Herleitung der Taylorreihe ein wenig einfacher machen und sich die Formel mit der n-ten Ableitung ersparen.
f(x)=2/(x-2)+3/(x-3)=-(1/(1-(x/2))+1/(1-(x/3))
Und das darf man jetzt für |x| < 2 in die geometrische Reihe entwickeln:
f(x)=-(sum(1/2^n*x^n,n=0,\inf)+sum(1/3^n*x^n,n=0,\inf)=-sum((1/2^n+1/3^n)*x^n,n=0,\inf)
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N-man
Senior
Dabei seit: 15.10.2002
Mitteilungen: 2579
Wohnort: Zürich
| Beitrag No.6, eingetragen 2003-04-27
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Wegen des Restgliedes...
Wir haben ja die exakte Reihe angegeben, wir brauchen also kein Restglied. Das Restglied ist ja dazu da aus einer endlichen Taylorreihe etwas exaktes zu machen, indem man eben sagt... naja... es existiert halt noch irgendwas in der Art, wenn man das dazuaddiert, hat man das exakte Ergebnis.
Es gibt verschiedene Restglieddarstellungen. Welche hattet ihr denn in der Vorlesung?
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