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Integration » Riemannsche Summen » Integralrechnung
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Universität/Hochschule J Integralrechnung
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  Themenstart: 2006-11-22

Sei f(x) eine stetige Funktion auf [0,1]. Prüfe: lim(n->\inf ,1/n *(f(1/n)+f(2/n)+...+f(n/n)))=int(f(x),x,0,1) Beim Stöbern hier im Forum bin ich auf dies hier gestossen: viewtopic.php?topic=63673 Das ist eigentlich nur eine Beispielrechnung, aber dass es für alle stetigen Funktionen gilt ist damit nicht gezeigt. Hat jemand eine Idee wie man es zeigen kann? Habe schon vieles probiert aber komme nicht zu der Gleichheit... Würde mich um jeden Tipp freuen, danke.


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Monkfish
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  Beitrag No.1, eingetragen 2006-11-22

Hallo smile \ Wie habt ihr das Riemannintegral denn definiert? Wahrscheinlich über Ober- und Untersummen... Wenn dem so ist, dann reicht es zu zeigen, dass zu jedem Paar von Ober- und Untersumme ein N \in \IN existiert, so dass 1/n *(f(1/n)+f(2/n)+...+f(n/n))  \forall n >= N von den beiden gesandwicht wird. Gruss [ Nachricht wurde editiert von Monkfish am 22.11.2006 18:32:38 ]


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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2006-11-22

Aja, danke für den Tipp, das reicht mir erstmal aus!  smile [ Nachricht wurde editiert von sneb1984 am 22.11.2006 20:44:12 ]


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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2006-11-22

Hallo, habe mir das Skript vorgenommen und komme leider doch nicht weiter. Also ich habe: Habe mir folgendes überlegt: Riemannsche Summe: S_n:=(b-a)/n *sum(f(x_i),i=1,n) f ist stetig, also gibt es eine Zahl \tau \el\ [a,b], so dass int(f(x),x,a,b)=f(\tau)*(a-b). In unserem Fall [0,1]: int(f,x,0,1)=f(\tau) Nun soll ich ja irgendwie eine Ungleichung aufstellen um dann das Sandwichlemma anzuwenden und fertig. Ich habe noch Schwierigkeiten beim Aufstellen dieser Ungleichung. Kann mir jemand da weiterhelfen? Danke im vorraus!


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Monkfish
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  Beitrag No.4, eingetragen 2006-11-22

Ich verstehe nicht, was du da machst. Den Mittelwertsatz der Integralrechnung brauchst du sicher nicht. Darum nochmals die Frage: Wie habt ihr das Riemann-Integral genau definiert?


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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2006-11-22

Hallo, also hier ist der Link zum Skript: ..... [ Nachricht wurde editiert von sneb1984 am 22.11.2006 21:44:12 ]


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  Beitrag No.6, eingetragen 2006-11-22

\ Ok. So wie ihr das Integral definiert habt \(via Riemannsummen\), ist die Aufgabe trivial. Du musst nur zeigen, dass 1/n *(f(1/n)+f(2/n)+...+f(n/n)) eine Riemannsumme ist. Eventuell sollte man noch nachweisen, dass stetige Funktionen immer Riemann-integrabel sind. Gruss [ Nachricht wurde editiert von Monkfish am 22.11.2006 21:18:02 ]


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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2006-11-22

@Monkfish: Dann ist es aber ja wirklich trivial, wenn man die Definition zu Riemanschen Summen verwendet: S_n:=(b-a)/n *sum(f(x_i),i=1,n) Eigentllich muss man da ja nun fast nichts mehr zeigen, denn (b-a)=1 und dann steht es ja schon fast da. Oder sehe ich das nicht richtig? [ Nachricht wurde editiert von sneb1984 am 22.11.2006 21:24:01 ]


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  Beitrag No.8, eingetragen 2006-11-22

Ja, es ist wirklich trivial: Riemann-Summe mit äquidistanten Stützstellen. Ein bisschen interessanter wäre die Aufgabe, wenn man mit der Definition von Darboux arbeiten würde. PS: Gilt für das Skript höchste Geheimhaltungsstufe, dass du die Links wieder entfernt hast wink Gruss [ Nachricht wurde editiert von Monkfish am 22.11.2006 21:52:53 ]


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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2006-11-22

Ok, danke für die Hilfe.  wink


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