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Analysis » Rationale und reelle Zahlen » Beweis: rationale Zahlen liegen dicht in IR
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Universität/Hochschule J Beweis: rationale Zahlen liegen dicht in IR
Fires
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2006-12-19


Wie beweise ich denn folgenden Satz? Ich habe da irgendwie überhaupt keine Idee. :/

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Vielen Dank schon mal!



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teilnehmer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2006-12-19


Hallo Fires,

zunächst einmal: Das Ganze hat überhaupt nichts mit Grenzwerten zu tun, der Betreff ist also falsch gewählt! smile
Abgesehen davon wäre es sehr hilfreich, wenn du uns sagen könntest, welche Vorkenntnisse du bereits besitzt und was du in diesem Beweis verwenden darfst. Wenn man nämlich bedenkt, dass jede reelle Zahl eine (in gewissem Sinne) eindeutige Dezimaldarstellung mit Dezimalbrüchen besitzt, ist das Ganze nämlich kein Problem.



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SchuBi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2006-12-19


Hallo, Fires!
Es geht um den Beweis, daß die rationalen Zahlen dicht in IR liegen. Schau doch mal in dein Skript.

[ Nachricht wurde editiert von SchuBi am 19.12.2006 20:17:45 ]



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Fires
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2006-12-19


Gut, wenns im Skript wäre, wärs wohl keine Übungsaufgabe...obwohl, alles schon dagewesen. :)
Aber danke, dann werd ich mal danach suchen.



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Wauzi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2006-12-19


Außerdem wäre es hilfreich, zu wissen, wie ihr die reellen Zahlen definiert habt, bzw welche Eigenschaften ihr schon kennt.
Gruß Wauzi



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2006-12-19


Hi Fires,
du mußt beweisen:
Es gibt ganze Zahlen p und q mit q > 0, so daß
s - ε < p / q < s + ε.
Das geht so, daß du zuerst q und dann p bestimmst.
Du kannst dabei q > 0 so groß wählen, wie du möchtest, Hauptsache, die Bestimmung von p klappt dann.

Tip: Es genügt, für q eine ganze Zahl zu nehmen, die größer als 1 / ε ist. Solch eine Zahl gibt es, aber wenn man dies auch noch beweisen muß (die Behauptung also, daß der Körper der reellen Zahlen archimedisch angeordnet ist), dann weiß ich auch nicht weiter.

Dann kann man beweisen, daß es auch eine passende ganze Zahl p gibt.
Es gibt ganze Zahlen p, die die linke Ungleichung erfüllen, aber für alle ganzen Zahlen gilt es nicht (beides ist wiederum die archimedische Eigenschaft).
Es gibt folglich eine kleinste ganze Zahl p, für die die linke Ungleichung gilt, und sie erfüllt dann auch die rechte, wie man sehr leicht mit Hilfe der Ungleichung q > 1 / ε beweisen kann.
Gruß Buri

[ Nachricht wurde editiert von Buri am 20.12.2006 00:09:46 ]



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Fires
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2006-12-20


Also danke schon mal für die Hilfe. Die relevanten Seiten des Skriptes habe ich leider nicht, aber mir wurde zumindest mal ein Beweisanfang genannt:

fed-Code einblenden

Aber ich blicke da ziemlich wenig, wäre auch für eine einfache  Literaturempfehlung zu diesem Gebiet dankbar!

Gruß,
Fires



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2006-12-21


Hi Fires,
es ist nicht sorgfältig genug formuliert.
Ich würde das so schreiben:
fed-Code einblenden
Die Grundidee ist dieselbe wie die, die ich angedeutet habe, in den jetzigen Bezeichnungen bedeutet das Folgendes:

Man wählt m als den Nenner der gesuchten rationalen Zahl r, und den Zähler bezeichnet man mit k.
Die Überlegungen mit der Wohlordnung dienen dazu, ein passendes k zu finden.
Allerdings ist das ein wenig verschwommen ausgedrückt, leider.

In Wirklichkeit ist dies gemeint:
fed-Code einblenden
-------------------------------------------------------------------
fed-Code einblenden
Beachte den Trennstrich, den ich eingefügt habe, er ist gewissermaßen eine gedankliche Pause.

Keinesfalls ist dies gemeint:
fed-Code einblenden
So muß man es aber leider, wie es dasteht, lesen, indessen sind die Klammern, die ich hier gesetzt habe (und die nur das deutlich und vor allem eindeutig wiedergeben sollen, was dasteht), völlig falsch und absurd.
Gruß Buri

[ Nachricht wurde editiert von fed am 21.12.2006 23:31:07 ]



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