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Funktionalableitung |
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PubliusOvidius
Senior  Dabei seit: 26.12.2003 Mitteilungen: 2620
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Hi,
kennt sich hier zufällig jemand zufällig mit Funktionalableitungen aus?
 
Also bei einfachen Funktionalen habe ich da auch kein Problem mit, z.b. F: f -> int(f^2,x,,), dann ist pdiff(F,f(x))=2f wobei f an den Integralgrenzen verschwindetund f eine reelle Funktion ist. Aber hier komme ich nicht weiter: F : f -> int(abs(grad(f))^2,x,,) Wie sieht hier pdiff(F,f(x)) aus? Angeblich soll man ja alleine mit der Formel pdiff(f(x),f(y))=\d(x-y) (''Deltafunktion'') alle Ableitungen bestimmen können, aber wie soll das hier funktionieren mit dem Gradienten und dem Betrag (wohl die 2-Norm)?
Hat jemand einen Hinweis oder eine Idee?
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Monkfish
Senior  Dabei seit: 01.03.2006 Mitteilungen: 3550
Aus: Zürich
 |     Beitrag No.1, eingetragen 2007-04-18
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PubliusOvidius
Senior  Dabei seit: 26.12.2003 Mitteilungen: 2620
 |     Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2007-04-18
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Hi,
ja das kommt aus einer Physik Vorlesung.
Die Methode die der Prof verwendet hat, nannte er:
Regularisieren durch Diskretisieren.
Die Idee dabei ist es, dass das Funktional durch die Regularisierung
eine Funktion in endlich vielen Variablen wird,
 
F[\phi] -> F_N(\phi_1 ,...,\phi_N) schliesslich lässt man N-> \inf laufen um das Ergebniss zu erhalten. Dann folgt pdiff(f(x),f(y))=\d(x-y) aus der Tatasache das pdiff(x_i,x_j)=\d_(i,j)
Morgen mal in die Bibliothek nach Literatur schauen.
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Monkfish
Senior  Dabei seit: 01.03.2006 Mitteilungen: 3550
Aus: Zürich
 |     Beitrag No.3, eingetragen 2007-04-18
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Um das (=Regularisieren durch Diskretisieren) zu verstehen, muss man wohl Physiker sein. Man kann die Funktionalableitung aber auch formal ausrechnen:
 
\ Für die Ableitung \d\ F(f) an der Stelle f muss per Definition für alle (Testfunktionen) h gelten: \d\ F(f) * h = d/dt F(f+t*h) \|_(t=0) Für F : f -> int(abs(grad(f))^2,,,) erhält man \(wenn abs(a) die euklidische Norm ist\): \d\ F(f) * h = d/dt F(f+t*h) \|_(t=0) = 2*int(braket(\Nabla\ f, \Nabla\ h),,,), wobei braket(.,.) das Standardskalarprodukt bezeichnet. Es ist also \d\ F(f) der Operator h \mapsto 2*int(braket(\Nabla\ f, \Nabla\ h),,,).
Gruss
[ Nachricht wurde editiert von Monkfish am 18.04.2007 20:32:27 ]
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PubliusOvidius
Senior  Dabei seit: 26.12.2003 Mitteilungen: 2620
 |     Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2007-04-18
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Hi,
danke für die Rechnung.
Gut das mal so gesehen zu haben.
Leider bin ich auch nur ein halber Physiker ,
mal sehen ob es in der Vorlesung mal Beispiele dazu gibt.
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