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Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » Matrixdarstellung der Ableitung
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Kein bestimmter Bereich J Matrixdarstellung der Ableitung
Pgam
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2002-05-09


Hallo!

1.Sei D die durch D f = f' erklärte Abbildung auf der Menge der beliebig oft stetig differenzierbaren reellen Funktionen.

a) Zeigen Sie, dass D linear ist.
b) Geben Sie alle Eigenwerte von D an.
c) Bestimmen Sie eine Eigenfunktion von D zum Eigenwert l, d.h. eine Funktion f  ¹ 0 mit D f =  l f.

2.Sei P4 (IR) der Vektorraum der reellen Polynome vom Grad  £ 4, und sei D die durch Df=f' erklärte lineare Abbildung von  P4 (IR) auf sich selbst. Bestimmen Sie die Matrixdarstellung von D bzgl. der Basis B=(1,x, x2, x3,  x4)


Für einen Ansatz oder Lösung wäre ich dankbar, weil ich keinen Ansatz für die Aufgabe finden kann.


Gruß
Pgam



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matroid
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2002-05-10


Hi Pgam.

D linear, das bedeutet: D(f + lg) = D(f) + lD(g).
Es ist D(f + lg) = (f + lg) ' und nach den bekannten Ableitungsregeln ist das gleich f ' + l g' = D(f) + lD(g).

Für Eigenwerte l gilt D(f) = lf.
Suche nach Lösungen für f '(x) = lx.
Ich würde sagen: jede reelle Zahl ist Eigenwert.
Daß es unendlich viele sind, ist plausibel, denn der Vektorraum der beliebig oft stetig differenzierbaren Funktionen ist unendlich dimensional.

Eine Eigenfunktion zum Eigenwert l !=0 ist elx, denn deren Ableitung ist gerade l*elx


Polynome vom Grad <= 4 kann man als Koeffizientenvektoren beschreiben.
Beispielsweise ist (1,0,2,3,1) der Koeffizientenvektor von 1 + 2x² + 3x³ + x4.
Die Ableitung ist (0,0,4,9,4).

Finde eine Matrix, die (u.a.) (1,0,2,3,1) auf (0,4,9,4,0) abbildet.

Vielleicht diese:
( 0 1 0 0 0 )
( 0 0 2 0 0 )
( 0 0 0 3 0 )
( 0 0 0 0 4 )
( 0 0 0 0 0 )


Oder sehe ich das jetzt zu einfach?

Gruß
Matroid



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Pgam
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2002-05-12


Hallo!

Ich hab noch ein paar Fragen zu der Aufgabe.
Wie kommst du z.b. auf  D(f +  l g) = D(f) +  l D(g).
Insbesondere verstehe ich nicht, dass D f = D(f +  l g)  sein soll oder versteh ich da etwas falsch?
Danach wendest du ja eine Bedingung für lineare Abbildungen an [
 j (x+y) = j (x) +  j (y)].
Meine 2. Frage ist: wie du auf die Matrix kommst ??

Gruß
Pgam



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matroid
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2002-05-12


Hi Pgam,

es ist definiert: D(f) = f '
Dann ist D(f+lg) = (f+lg)'
Das f in D(f) = f ' steht für eine Funktion. f ist hier nur ein Formparameter.
Man könnte auch h schreiben.
Mit h = f+lg ist D(h) = h '.

Die Matrix habe ich einfach so hingeschrieben. Ich habe mir das Beispiel angesehen und dann die Matrix so aufgeschrieben, daß es paßt.
Ist doch einfach: Aus 1x³ wird 3x² usw. In der Vektorschreibweise wird aus x3 also 3*x2.

Gruß
Matroid



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Pgam
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2002-05-12


Hallo!

Das versteh ich immer noch nicht. OK ich würde es einsehen, wenn du die Funktion f in 2 Funktionen (z.b. a +b) "aufspalten" würdest, aber warum bringst du den Eigenwert  l ins Spiel. Kann man eine Funktion in eine Funktion + Eigenwert* Funktion zerlegen????

Wie du auf die Matrix kommmst ist mir leider auch noch nicht klar?
Die Ableitung ist mir schon klar, aber wie kommst du dann auf die Matrix.
Ich steh da wohl gerad auf dem Schlauch..

Gruß
Pgam



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Pgam
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2002-05-12


Hallo!

Ich hab gerad die starke Vermutung, dass

Matrix * (1,0,2,3,1) = (0,4,9,4,0) ist.

Gruß
Pgam



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matroid
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2002-05-12


Ja!



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matroid
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2002-05-12


Hi Pgam,

zur Matrix:

Du hast einen Vektorraum, den der Polynome vom Grad <= 4, den nenne ich nun V.
Du hast eine lineare Abbildung von D: V -> V, definiert durch D(f) = f '
Dabei ist f ein Element aus V, also ein Polynom vom Grad <= 4.

Jeder Vektorraum hat eine Basis.
Eine Basis von V ist z.B. (1,x,x²,x³,x4), und diese Basis wähle ich jetzt.

Die lineare Abbildung D ist durch die Bilder der Basiselemente eindeutig bestimmt (um nicht Basisvektoren zu sagen, aber es sind Vektoren, weil Elemente eines Vektorraum darf man immer als Vektor bezeichnen).

Das Bild von 1 ist 0,
das von x ist 1
das von x² ist 2x
usw.

Warum? Das Polynom x aus V wird auf seine Ableitung abgebildet. Was ist die Ableitung von x? Es ist 1, nämlich das Polynom p(x) = 1 Î V.

[In diesem Vektorraum sind Funktionen und eine Abbildung von V -> V bildet Funktionen auf Funktionen ab.]

Jeder Vektor (Funktion) aus V kann bzgl. der gewählten Basis eindeutig dargestellt werden.
Beispielsweise hat das Polynom x² die Darstellung
  0*1 + 0*x + 1*x² + 0*x³ + 0*x4
Die Darstellung von x² bzgl der Basis (1,x,x²,x³,x4) lautet also:
 (0,0,1,0,0).

Die Darstellung von 2x bzgl dieser Basis ist (0,2,0,0,0).

Es besteht ein Isomorphismus zwischen den Polynomen aus V und den Vektoren aus IR5.
In der Linearen Algebra lernt man, daß man lineare Abbildung vollständg durch Matrizen beschreiben kann.

D ist eindeutig bestimmt durch die Bilder der Basisvektoren, wobei die Basisvektoren bzgl. der hier gewählten Basis die einfachste Darstellung haben.
Die Bilder der Basisvektoren sind:
 (1,0,0,0,0) -> (0,0,0,0,0)
 (0,1,0,0,0) -> (1,0,0,0,0)
 (0,0,1,0,0) -> (0,2,0,0,0)
 (0,0,0,1,0) -> (0,0,3,0,0)
 (0,0,0,0,1) -> (0,0,0,4,0)

Durch D wird
  0*1 + 0*x + 1*x² + 0*x³ + 0*x4 auf   0*1 + 1*x + 0*x² + 0*x³ + 0*x4 abgebildet. Und dito für die anderen Basiselemente.


Nun ist die Darstellungsmatrix des Endomprphismus (d.i. lineare Abbildung von V nach V) gefragt.
Diese Abbildung kann durch eine Matrix A beschrieben werden und es muß gelten:
  A*(1,0,0,0,0)t =  (0,0,0,0,0) t.
  A*(0,1,0,0,0)t =  (0,0,0,0,0) t.
  A*(0,0,1,0,0)t =  (0,2,0,0,0) t.
  A*(0,0,0,1,0)t =  (0,0,3,0,0) t.
  A*(0,0,0,0,1)t =  (0,0,0,4,0) t.

Um A zu bestimmen muß man also die Gleichungen lösen.
Nämlich:
a11*1 + a12*0 + a12*0 + a13*0  + a14*0 = 0
a21*1 + a22*0 + a22*0 + a23*0  + a24*0 = 0
...
usw.
25 Gleichungen.
Das sieht aber nur viel aus.

Aus
a11*1 + a12*0 + a12*0 + a13*0  + a14*0 = 0
erkennt man gleich, daß a11 = 0 ist.

Ebenso sind a21, a31, a41, a51 alle 0.

Bzgl. der kanonischen Basis ist das Ergebnis: Die Spalten von A sind die Bilder der Basisvektoren.

Gruß
Matroid



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Hallo!

Ich gerad in meinen Mathebuch die Aufgabe eine ähnliche Aufgabe entdeckt.
(1)'= 0 ==> d(1)E = 1E = (0 , 0, .....)


usw.

Gruß
Pgam



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