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| Autor |
  Integralrechnung - Kriterium |
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duff
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 07.11.2005
Mitteilungen: 406
 |  Themenstart: 2007-07-26
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Hallo,
arbeite gerade mein Analysis Skript durch. Bin gerade bei der Integralrechnung angekommen:
13.9 und 13.10 verstehe ich soweit. Bei 13.11 habe ich keinen Beweis angegeben, aber es ist ja eine Folgerung aus 13.10. Bloss verstehe ich nicht ganz wie man darauf kommt.
Kann mir jemand erklären wie man auf 13.11 kommt?
Lieben Gruss und einen schönen Abend
duff
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DareDevil
Senior 
Dabei seit: 28.05.2004
Mitteilungen: 2277
 | Beitrag No.1, eingetragen 2007-07-27
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Hallo duff,
hast Du zufällig das Buch Analysis I von Harro Heuser zur Hand? In meinem \(14. Auflage) wird das auf Seite 449 begründet.
Zunächst sollte man aber hier mal abs(Z) klären:
Ist Z=menge(x_0, ... , x_n) eine Zerlegung von I=[a,b]
\(d.h. x_0 =a < x_1 < ... < x_n=b ),
so sei I_k:=[x_(k-1), x_k] und abs(I_k) die Länge von I_k für k=1, ... ,n. Weiter
abs(Z):=max menge(abs(I_k), k=1,...,n), also etwas salopp gesagt die Länge des größten Intervalls der Zerlegung Z.
Wenn Du Dir das mal klar machst, so solltest Du eigentlich sehen, dass die Folgerung 13.11 im Prinzip nur eine Umschreibung des Satzes 13.10 ist.
Versuch einfach mal, den Beweis zu führen:
Sei f \el B([a,b]). Zu zeigen ist: f ist Riemann-integrierbar genau dann, wenn für jede Folge... \(siehe oben) die Folge (\s(Z_n,\xi^(n)))_n konvergiert.
" => " Sei nun also f Riemann-integrierbar und sei \e > 0 vorgegeben. Sei weiter ((Z_n))_n eine \(beliebige) Folge von Zerlegungen von [a,b] mit abs(Z_n) -> 0 bei n -> \infty und zugehöriger Folge von Vektoren (\xi^(n))_n.
Weil f Riemann-intbar ist, existiert ein a \el \IR, so dass gilt:
Zu dem \e > 0 existiert ein \d > 0, so dass ...
Weil abs(Z_n) -> 0 gibt es ein N \el \IN, so dass für alle m >= N gilt abs(Z_m) < \d. Also folgt...
" <== " Sei ((Z_n))_n eine Folge von Zerlegungen von [a,b] mit abs(Z_n) < 1/n und (\xi^(n))_n zugehörige Folge von Vektoren \(hier kann man auch die Z_n und \xi^(n) konkret angeben, damit man die Existenz wirklich gesichert hat).
Sei a:=lim(n->\infty, \s(Z_n,\xi^(n))), wobei die Existenz dieses a nach Voraussetzung gesichert ist.
Wir nehmen an, es gibt ein \e > 0 so, dass kein \d > 0 wie in Satz 13.10 gewünscht wird, existiert. Dann gibt es zu jedem n \el \IN eine Zerlegung Z_n^` mit zugehörigen Vektoren \xi^'^(n) und 0 < abs(Z_n^`) < abs(Z_n) < 1/n mit
abs(\s(Z_n^`,\xi^'^(n))-a) >= \e.
Betrachtet man die Folge ((\s^~_n))_n mit
\s^~_j=fdef(\s(Z_(j/2),\xi^((j/2))), falls j gerade; \s((Z_((j+1)/2))^',\xi^'^(((j+1)/2))), falls j ungerade),
wobei hier die Folge ((Z^~_n))_n der Zerlegungen mittels
Z^~_j:=fdef(Z_(j/2), falls j gerade; (Z_((j+1)/2))^', falls j ungerade)
definiert werde, so gilt zwar abs(Z^~_n) -> 0, aber
((\s^~_n))_n konvergiert nicht im Widerspruch zur Voraussetzung.
\(Da die Teilfolge (((\s^~)_(2n)))_n gegen a konvergiert, aber die Teilfolge (((\s^~)_(2n-1)))_n nicht gegen a konvergiert.)
P.S.: Da es schon sehr spät ist, kann es gut sein, dass ich hier einige Patzer gemacht habe. Am sinnvollsten ist es daher, den Beweis wirklich auch mal selbst führen und ggf. meine, vor allem die zweite Richtung, korrigieren ^^
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So nebenbei:
Der Beweis ist sehr ähnlich zu dem Beweis, dass \(ich nehme jetzt extra sehr wenig Voraussetzungen) eine Funktion f: \IR -> \IR genau dann stetig in x_0 ist, wenn
Für alle Folgen ((x_n))_n \el \IR^\IN mit x_n -> x_0 gilt, dass auch f(x_n) -> f(x_0)... Also sofern ich, wie gesagt, keine groben Patzer gemacht habe, kannst Du Dich etwas daran orientieren...
Gruß,
DareDevil
[ Nachricht wurde editiert von DareDevil am 27.07.2007 02:35:38 ]
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duff
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 07.11.2005
Mitteilungen: 406
|  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2007-08-13
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Sorry, für die späte Rückmeldung, aber bin erst heute wieder aus dem Urlaub zurück.
Das hast du mir richtig gut aufgeschrieben, hatte keine Probleme den Beweis zu verstehen. Echt super!
MFG
duff
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duff hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
duff hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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