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Mathematik » Logik, Mengen & Beweistechnik » Beweis: Rechengesetze der natürlichen Zahlen (mit Peano-Ax.)
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Autor
Universität/Hochschule J Beweis: Rechengesetze der natürlichen Zahlen (mit Peano-Ax.)
Anonymous
Unregistrierter Benutzer
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2001-11-10


hi!
Wie beweise ich am besten die Rechengesetze für die natürlichen Zahlen (Kommutativ-/Assoziativgesetz)? Mit den Peano-Axiomen? Aber wie fang ich an? Muss ich da zunächst Addition etc. definieren? HELP! 



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matroid
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Aus: Solingen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2001-11-10


Die Peano-Axiome lauten:
(P1) 0 ist eine natürliche Zahl.
(P2) Zu jeder natürlichen Zahl n existiert genau eine natürliche
       Zahl n+, die sogenannte Nachfolgerin von n.
(P3) Es gibt keine natürliche Zahl n mit n+ = 0.
(P4) Gilt für zwei natürliche Zahlen n und m die Beziehung n+ = m+,
       dann ist n=m.
(P5) Prinzip der vollständigen Induktion: Enthält eine Menge A die
       Zahl 0 und mit jeder Zahl n auch deren Nachfolgerin n+,
       dann ist A die Menge aller natürlichen Zahlen, d.h. A = IN.

Ich glaube nicht, daß man daraus folgern kann, daß die Addition in den natürlichen Zahlen kommutativ ist.
Man kann daraus noch nicht einmal folgern, daß n+0=n ist.

Natürlich ist n+0=0, aber das ist eine algebraische Eigenschaft von Zahlen.
Die natürlichen Zahlen sind eine kommutative Halbgruppe mit neutralem Element.

Daß 2+1=3 ist, ist eine Eigenschaft der Zahlen. Immerhin sagen die Axiome, daß 2+1 nicht 2 sein kann, denn 2+1 ist der Nachfolger von 2 und 2 ist der Nachfolger von 1. Und wenn 2+1=2 wäre, dann hätten verschiedene Zahlen den gleichen Nachfolger.
Aber wenn ich in dieser Weise weiter spinne, dann verwirre ich mich völlig.

Warum ist ein Tisch ein Tisch? Weil wir ein Ding, an dem man Sitzen kann und auf das man Dinge legen kann und unter das man seine Beine stellen kann, einen Tisch nennen. Warum ist 2+1=3? Weil wir wissen, daß 2+1 weder 2 noch 1 noch 0 ist, und darum erhält 2+1 einen neuen Namen, nämlich 3.

Man kann den Zahlen induktiv Namen geben. Aus den Axiomen geht hervor, daß 0 eine natürliche Zahl ist, und daß sie einen Nachfolger hat. Den nennt man 1. Und der Nachfolger von 1 heißt 2, usw.

Wenn man zeigen will, daß 1+2=2+1, dann muß man erklären (aha, Du hast richtig vermutet), was 1+2 denn sein soll. Wenn wir definieren, daß 1+2 der "zweite Nachfolger" von 1 ist, dann ist also 1+2=(1+1)+1 = 2+1.

Hmm, also irgendwie habe ich es nun - trotz angänglicher Zweifel - doch geschafft. Die Addition ist kommutativ.

Ich hoffe, meine Überlegungen helfen Dir weiter.

Gruß
Matroid



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Anonymous
Unregistrierter Benutzer
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2002-06-25


2001-11-10 21:13: Anonymous schreibt:
Natürlich kann man damit beweisen, dass die Addition auf den Natürlichen Zahlen kommutativ ist.
Anfangen am besten mit vollständiger Induktion auf x+y = y+x
dann muss man allerdings solche Hilfssätze wie 0+x = x und x'+y = (x+y)' erstmal beweisen. Das sollte dann aber nicht mehr so schwer sein, eventuell ist hier dann auch wieder eine Induktion sinnvoll.
hoffe geholfen zu haben

UliTheKid



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Ende
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2002-06-25


Hi!

Natuerlich kann man mit nur mit den Peano-Axiomen ueberhaupt nichts ueber die Rechenregeln mit den natuerlichen Zahlen beweisen.
Man braucht vorher eine Definition fuer die Rechenart, ueber die man irgendetwas beweisen will.
Die ist ueblicherweise induktiv und fuehrt schon durch ihre Definition zum Beweis. Dass n + 0 = n ist, wird Teil der Definition sein und keinen weiteren Beweis erfordern.

Gruss, E.



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Anonymous
Unregistrierter Benutzer
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2002-10-24


Zu Matroid:

1+2=(1+1)+1

stimmt aber nur, wenn du vorher gezeigt hast, dass die Addition assoziativ ist. Sonst gilt nämlich nur

1+2=1+(1+1).

Hier gilt dann aber
1+(1+1)=1+1'=(1+1)'=2'=:3.

Christian



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DaMenge
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2002-10-24


Ich hätte alle Beweise der Gesetze für addition und Multiplikation aus den Peano-Axiomen und ein paar Zusatz Defs. als PDF verfügbar, brauche nur eine Email-Adresse.

an Matroid :Da ich ein ähnliches Prob gerade erst hatte : Soll ich einen Artikel dazu schreiben?!? Mit allen Beweisen wirds aber lang , vielleicht nur die Ansätze? Oder kann ich PDF-Files uploaden?

C' Ya
DaMenge



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matroid
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2002-10-24


Hi DaMenge,

ja gern, das wäre sehr nützlich. Am besten ausführlich, nicht nur Ansätze.
Man sieht ja, daß die Ansätze oft nicht ausreichen.
Bzgl. Format bevorzuge ich zwar html, aber wenn das nicht praktisch sit dafür, dann auch gern pdf.

Gruß
Matroid



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