| Autor |
  Kongruenz lösen |
|
Ehemaliges_Mitglied
 |  Themenstart: 2007-12-12
|
Hi leutz,
ich soll in \IZ folgendes lösen:
3x^2-2x+9=0 (mod 35)
und zwar alle Lösungen soll ich bestimmen.
ich habe folgendes gemacht:
3x^2-2x+(9+k*35)=0
jetzt Lösungsformel angesetzt und geschaut, wann die Diskriminante positiv und die Wurzel daraus ganzzahlig wird
und ich komme dann auf eine spezielle Lösung x_0 =6 und damit auf die Lösungsgesamtheit
x=6 (mod 35)
Kann man das so machen bzw. sind das alle Lösungen?
lg,
Markus
|
 Profil
|
fru
Senior 
Dabei seit: 03.01.2005
Mitteilungen: 21456
Wohnort: Wien
 | Beitrag No.1, eingetragen 2007-12-12
|
\
Hallo Markus!
Das ist nicht die einzige Lösung!
Du solltest die linke Seite der Kongruenz faktorisieren:
Wegen ggT(3,35)=1 und 26==-9==-3^2 mod 35 gilt
3x^2-2x+9==0 mod 35
<=>
3*(3x^2-2x+9)==0 mod 35
<=>
(9x^2-6x+1)+26==0 mod 35
<=>
(3x-1)^2-3^2==0 mod 35
<=>
(3x-4)*(3x+2)==0 mod 5*7
Kommst Du damit nun alleine weiter?
|
Profil
|
Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2007-12-12
|
Hi fru,
wie kommst du auf die letzte Umformung, wenn ich fragen darf??
(3x-4)*(3x+2)==0 mod 5*7
ok, angenommen das gilt, dann muß doch
mind. 1 der vier Fälle
3x-4 == 0 (mod 5)
3x-4 == 0 (mod 7)
3x+2 == 0 (mod 5)
3x+2 == 0 (mod 7)
gelten, oder?
Fall (1) liefert x=3 (mod 5)
Fall (2) x=6 (mod 7)
(3) liefert x=1 (mod 5)
(4) liefert x=4 (mod 7)
also lösen alle x die eine der vier genannten Darstellungen haben die Gleichung?
lg,
Markus
|
Profil
|
fru
Senior
Dabei seit: 03.01.2005
Mitteilungen: 21456
Wohnort: Wien
| Beitrag No.3, eingetragen 2007-12-12
|
\quoteon(2007-12-12 13:27 - ein_stein)
... wie kommst du auf die letzte Umformung ...
\quoteoff
\
Dabei habe ich einfach die Formel
a^2-b^2=(a-b)*(a+b)
mit a=3x-1 und b=3 angewandt.
\quoteon(2007-12-12 13:27 - ein_stein)
\
..., dann muß doch
mind. 1 der vier Fälle
3x-4 == 0 (mod 5)
3x-4 == 0 (mod 7)
3x+2 == 0 (mod 5)
3x+2 == 0 (mod 7)
gelten, oder?
\quoteoff
\
Ja, das ist zwar richtig, aber das stellt nur eine notwendige__ Bedingung dafür dar, daß x auch die gegebene Kongruenz löst:
So müßte z.B. im ersten Fall 3x-4==0 mod 5 zusätzlich__ noch
(3x-4)*(3x+2)==0 mod 7
gefordert werden! Deine Lösung ist daher falsch, wie Du auch durch eine Probe leicht feststellen könntest, indem Du z.B. x=3 in die gegebene Kongruenz einsetzt.
Überlege Dir also genau, wie man eine zu
(m*n)\|(a*b)
\(nichts Anderes bedeutet ja unsere Form a*b==0 mod m*n) gleichwertige__ \(also notwendige und__ hinreichende) Bedingung formulieren kann, welche die Aufgabe auf das Lösen linearer__ Kongruenzen reduziert! Dabei kannst Du natürlich berücksichtigen, daß bei uns m und n voneinander verschiedene Primzahlen sind.
[ Nachricht wurde editiert von fru am 12.12.2007 14:42:39 ]
[ Nachricht wurde editiert von fed am 12.12.2007 14:44:44 ]
|
Profil
|
Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2007-12-12
|
Hi fru,
danke für die Eklärung.
m und n verschiedene Primzahlen
m teilt ab => m teilt a und//oder b
n teilt ab => n teilt a und//oder b
habe ich also m*n teilt ab <=> oe. m teilt a und n teilt b?
lg,
Markus
|
Profil
|
fru
Senior
Dabei seit: 03.01.2005
Mitteilungen: 21456
Wohnort: Wien
| Beitrag No.5, eingetragen 2007-12-12
|
\quoteon(2007-12-12 15:17 - ein_stein)
\
habe ich also m*n teilt ab <=> oe. m teilt a und n teilt b?
\quoteoff
Was bedeutet denn hier das "oe." ?
[ Nachricht wurde editiert von fru am 12.12.2007 15:22:28 ]
|
Profil
|
Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2007-12-12
|
ohne einschränkung, könnte ja auch andersherum sein.
lg,
Markus
|
Profil
|
fru
Senior
Dabei seit: 03.01.2005
Mitteilungen: 21456
Wohnort: Wien
| Beitrag No.7, eingetragen 2007-12-12
|
\
Diese Formulierung ist mir in so einem Zusammenhang noch nie untergekommen. Du solltest es besser so formulieren, wie es in der Mathematik üblich ist:
Aus ggT(m,n)=1 folgt zunächst
mn\|ab <=> (m\|ab\and\ n\|ab)
und weil m und n prim sind, ist das gleichwertig mit
(m\|a\or\ m\|b)\and\(n\|a\or\ n\|b)
[ Nachricht wurde editiert von fed am 12.12.2007 15:34:07 ]
|
Profil
|
Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2007-12-12
|
ok, danke.
also habe ich folgende fälle zu prüfen:
3x-4==0 (mod 5) und 3x+2==0 (mod 7)
3x-4==0 (mod 5) und 3x+2==0 (mod 5)
3x-4==0 (mod 7) und 3x+2==0 (mod 5)
3x-4==0 (mod 7) und 3x+2==0 (mod 5)
lg,
Markus
|
Profil
|
fru
Senior
Dabei seit: 03.01.2005
Mitteilungen: 21456
Wohnort: Wien
| Beitrag No.9, eingetragen 2007-12-12
|
Nein, überprüfe es noch einmal genau!
|
Profil
|
Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2007-12-12
|
ja, klar.
3x-4==0 (mod 7) und 3x+2==0 (mod 5)
3x-4==0 (mod 5) und 3x+2==0 (mod 7)
so, oder?
lg,
Markus
|
Profil
|
fru
Senior
Dabei seit: 03.01.2005
Mitteilungen: 21456
Wohnort: Wien
| Beitrag No.11, eingetragen 2007-12-12
|
Das sind nur zwei von vier möglichen Fällen!
|
Profil
|
fru
Senior 
Dabei seit: 03.01.2005
Mitteilungen: 21456
Wohnort: Wien
| Beitrag No.12, eingetragen 2007-12-12
|
\quoteon(2007-12-12 15:32 - fru)
\
(m\|a\or\ m\|b)\and\(n\|a\or\ n\|b)
\quoteoff
Wende hierauf einfach das Distributivgesetz an!
|
Profil
|
Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2007-12-12
|
m \| a und n \| a
m \| a und n \| b
m \| b und n \| a
m \| b und n \| b
also (hoffentlich letzter versucht)
3x-4==0 (7) und 3x+2==0 (7)
3x-4==0 (7) und 3x+2==0 (5)
3x-4==0 (5) und 3x+2==0 (7)
3x-4==0 (5) und 3x+2==0 (5)
lg,
Markus
|
Profil
|
fru
Senior
Dabei seit: 03.01.2005
Mitteilungen: 21456
Wohnort: Wien
| Beitrag No.14, eingetragen 2007-12-12
|
Nein, leider hat es auch im dritten Anlauf nicht geklappt.
Laß Dir vielleicht etwas mehr Zeit  !
|
Profil
|
Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2007-12-12
|
als lösung hätte ich:
bin ich blöd. :-(
a, 3x-4==0 (7) und 3x-4==0 (5)
b, 3x-4==0 (7) und 3x+2==0 (5)
c, 3x+2==0 (7) und 3x-4==0 (5)
d, 3x+2==0 (7) und 3x+2==0 (5)
jetzt stimmt es hoffentlich (endlich), weill ja auch deine Geduld nicht ausreizen. ;-)
(a)
3x+3==0 (7) und 3x+1==0 (5)
3x==4 (7) und 3x==4 (5)
x==6 (7) und x==3 (5)
(b)
3x-4==0 (7) und 3x+2==0 (5)
x==6 (7) und x==1 (5)
(c)
3x+2==0 (7) und 3x-4==0 (5)
x==4 (7) und x==3 (5)
(d)
3x+2==0 (7) und 3x+2==0 (5)
x==4 (7) und x==1 (5)
diese 4 Fälle sind dann mit dem chin. Restsatz zu lösen, oder?
lg,
Markus
|
Profil
|
fru
Senior
Dabei seit: 03.01.2005
Mitteilungen: 21456
Wohnort: Wien
| Beitrag No.16, eingetragen 2007-12-12
|
Ja, jetzt stimmt es!
Der Chinesische Restsatz ist auch eine Möglichkeit, die Einzelsysteme zu lösen. Ich würde es aber (wegen der Kleinheit der beteiligten Zahlen) elementarer rechnen.
|
Profil
|
Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2007-12-12
|
Danke, Du bist mein Held.^^
mod 35 immer, weil ggt(5,7)=1
(a)
x==13 (35)
(b)
x==6 (35)
(c)
x== 18 (35)
(d)
x== 11(35)
lg,
Markus
|
Profil
|
fru
Senior
Dabei seit: 03.01.2005
Mitteilungen: 21456
Wohnort: Wien
| Beitrag No.18, eingetragen 2007-12-12
|
Ja, Markus, das sind genau die Lösungen der gegebenen Kongruenz.
Liebe Grüße, Franz
|
Profil
|
Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2007-12-12
|
Hi Franz/fru,
großes Dankeschön an dich für deine geuld und ausdauer, mir bei der aufgabe zu helfen.
lg,
Markus
|
Profil
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
