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Integration » Riemannsche Summen » Riemann-Integral von 1+x mit Ober- und Untersumme
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Universität/Hochschule J Riemann-Integral von 1+x mit Ober- und Untersumme
lena20
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  Themenstart: 2008-02-11

Hallo, Ich soll das Integral int((x+1),x,0,2) bestimmen, indem ich Ober und Unterintegrale berechne. Nun ist meine Frage, wie ich das Ganze einteile. In der Vorlesung hatten wir gesagt, dass die zerlegung vom Intervall intervall(a,b) mit a,x_1 ,x_2 ,...,x_(k-1) ,b gilt und für x_k =k^2 /n^2 *b für k=0,1,2...,n Wie kann ich das jetzt hier anwenden? Lg [ Nachricht wurde editiert von fed am 11.02.2008 16:45:22 ]


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SchuBi
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  Beitrag No.1, eingetragen 2008-02-11

Hallo, Lena! Hier wählst du eine äquidistante Zerlegung. Dann ist es stumpfes Nachrechnen. PS: Das hat nichts mit Differentialgleichungen zu tun eek [ Nachricht wurde editiert von SchuBi am 11.02.2008 16:43:20 ]


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lena20
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2008-02-11

aha und kann ich denn diese äquidistante Zerlegung immer wählen? Oder was mache ich bei anderen Integralen?


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SchuBi
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  Beitrag No.3, eingetragen 2008-02-11

Hallo, Lena! Das ist eine andere Frage als die in deinem Ausgangspost. Für Exponentialfunktionen kannst du z.B. keine äquidistante Zerlegung wählen.


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lena20
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2008-02-11

den begriff "äquidistante Zerlegung" hab ich noch nie gehört, also vielleicht haben wir das auch irgendwie anders genannt oder gar nicht.. deswegen die Frage, aber wenns dich beruhigt kann ich sie auch neu stellen..


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SchuBi
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  Beitrag No.5, eingetragen 2008-02-11

Hallo, Lena! Diesen Begriff habe ich schon in meiner Schulzeit (1970) gelernt. Zum anderen kann man so etwas auch nachschlagen z.B. Äquidistanz. \quoteon deswegen die Frage, aber wenns dich beruhigt kann ich sie auch neu stellen \quoteoff Das beunruhigt mich eek


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Luke
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  Beitrag No.6, eingetragen 2008-02-11

hallo, das ist doch ein "normales deutsches wort" haette ich fast gesagt. aber ich sage mal: mit ein bisschen latein (oder zumindest englisch kenntnissen, dort gibt es ja viele lateinische lehnwoerter) machen fremdwoerter keine probleme (englisch): equi: gleich distant: entfernt eine zerlegung mit gleichen abstaenden. das ist also nicht unbedingt ein mathematisches fachwort, sondern einfach nur ein wort, das die lage beschreibt. zu den zerlegungen. die frage ist am ende: mit welcher zerlegung kann man am einfachsten rechnen, wenn man schon integrale mit dieser methode berechnet. [ Nachricht wurde editiert von Luke am 11.02.2008 18:09:22 ]


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lena20
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2008-02-12

also nochmal eine Frage zur äquidistanten Zerlegung. Ich habe die Formel für ein Teilinterval t_n gefunden mit t_n =a+n* (b-a)/n für das Intervall intervall(a,b) Wir hatten in der Vorlesung immer einfach nur x_n -x_(n-1) gewählt. Mir ist klar, dass es Sinn macht durch n zu dividieren, weil dann die Teilintervalle sehr fein werden. Aber warum multipliziert man nochmals mit n und addiert noch a dazu? Und noch etwas: Mit einer Zerlegung in Teilintervalle ist doch nur die Zerlegung des Intervalls intervall(a,b) des definitionsbereichs gemeint oder? Es hat also hier noch nichts mit inf oder sup von f(x) zu tun oder?Wär seeeeehr nett wenn mir jemand ne Antwort geben kann!!


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sebastiano
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  Beitrag No.8, eingetragen 2008-02-12

Hallo! Das ist doch Schulmathe: guck in LS(am besten LK Analysis), dort werden Beispiele für x^2 und x^3 besprochen. Gruß Sebastian


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lena20
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2008-02-12

kann mir denn nicht bitte einfach jemand meine Frage beantworten


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afdha
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  Beitrag No.10, eingetragen 2008-02-12

Du schmeißt die Indizies durcheinander, Du meinst: Unterteilungspunkte t_k mit t_k =a+k* (b-a)/n für das Intervall(a,b)


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lena20
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  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2008-02-12

aha, komisch hatte die Formel ganz genau übernommen.. aber warum multipliziert man denn jetzt mit k und addiert a dazu? Danke


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lula
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  Beitrag No.12, eingetragen 2008-02-12

Hallo lena Du teilst dein Intervall [a,b] in n Teile. Dann hst ein Teil die Länge (a+b)/n der erste Punkt ist a, der nächste Unterteilungspunkt dann a+(a+b)/n, der nächste a+2*(a+b)/n der k-te a+k*(a+b)/n. Das ist alles. bis dann lula


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lena20
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  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2008-02-12

Aha okay, vielen Dank!! Um an den Flächeninhalt eines "Streifens" der Unter-bzw Obersumme zu kommen muss ich ja nun noch a+k* (a+b)/n mit inf menge(f(x)|x\el\ I_k ) bzw sup menge(f(x)|x\el\ I_k ) multiplizieren, wobei I_k das k-te Intervall ist. Gibt es denn nun für die "Höhe" des Streifens auch eine genauere Formel? Lg


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mehrdennje
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  Beitrag No.14, eingetragen 2008-02-12

www.mathematik.de/mde/fragenantworten/erstehilfe/integration/warum/warum.html


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fru
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  Beitrag No.15, eingetragen 2008-02-12

\quoteon(2008-02-12 12:45 - lula) \ Du teilst dein Intervall [a,b] in n Teile. Dann hst ein Teil die Länge (a+b)/n \quoteoff \ Hallo Lena! Lula hat sich hier etwas vertan, richtig wäre: Wenn man das Intervall intervall(a,b) mit a<=b in n \(n\el\IZ^\+\.) gleichlange Teilintervalle zerlegt, so hat jedes von diesen die Länge (b-a)/n Es gibt dann genau n+1 Intervallgrenzen t_k \(mit k\el\IZ und 0<=k<=n), die afdha im Beitrag No. 10 angegeben hat. Was Du im Beitrag No. 7 fälschlicherweise als "ein Teilintervall t_n\." bezeichnest, ist also in Wahrheit die größte dieser n+1 Intervallgrenzen \(und natürlich gleich b, der oberen Grenze des zu zerlegenden Intervalls intervall(a,b), wie Dir eine leichte Vereinfachung zeigen sollte). Um all das zu verstehen, solltest Du Dir vielleicht ein konkretes Beispiel wählen, etwa a=10,b=20 und n=10. Setze dies in afdhas Formel für t_k ein, und berechne damit t_0, t_1, ... usw. bis t_10. Wenn Du das geschafft hast, könntest Du dasselbe noch einmal mit etwas "unrunderen" Werten durchführen \(z.B. mit a=2, b=5 und n=9), um die gewonnenen Einsichten zu vertiefen und zu festigen. Fertige in beiden Fällen auch jeweils eine Zeichnung dazu an! Bei Deiner einleitend geposteten Aufgabe ist dann a=0 und b=2 zu wählen, n bleibt variabel. Nachdem Du die Funktionswerte an den n+1 Intervallgrenzen t_k berechnet hast, lassen sich leicht die zu n gehörenden Ober\- und Untersummen O_n und U_n als Summe von Rechteckflächen ermitteln \(beachte hierfür, daß der Integrand monoton steigend ist, das erleichtert diese Teilaufgabe sehr!). Das Integral ist dann als der gemeinsame Grenzwert lim(n->\inf,O_n)=lim(n->\inf,U_n) zu berechnen. Liebe Grüße, Franz


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lena20
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  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2008-03-26

Hallo, was ist denn mit Funktionen, wo man keine äquidistante Zerlegung wählen kann? Wie komme ich dann da auf die Zerteilung des Intervalls intervall(a,b) ? Und woran erkennt man überhaupt, wann die Teilintervalle alle gleich groß sein können und wann nicht? Hier wurde ja schon erwähnt, dass man bei der Exponentialfunktion keine äquidistante Zerlegung wählen kann. Hat das was mit der Steigung zu tun? Ich kann irgendwie bei den ganzen Aufgaben, die ich habe nie irgendeine Regelmäßigkeit nachder das Intervall eingeteilt wird sehen. Lg


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fru
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  Beitrag No.17, eingetragen 2008-03-26

\ Hi Lena! Ich sehe keinen Grund, warum man bei einer Exponentialfunktion keine äquidistante Zerlegung wählen könnte. Die Ober\- und Untersummen werden dann zwar langsamer gegen das Integral konvergieren als bei geschickter gewählten Zerlegungen, aber sie konvergieren! Du kannst also \(bei auf einem abgeschlossenen Intervall stetigen Funktionen: diese sind dann auch gleichmäßig stetig, was die Konvergenz zur Folge hat) stets äquidistante Zerlegungen wählen! Andere kannst__ Du auch wählen \(aber Du mußt__ nicht); z.B. wenn Du für eine numerische Auswertung eine raschere Konvergenz für erstrebenswert hältst. Liebe Grüße, Franz


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