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Differentiation » Taylorentwicklungen » Herleitung der Taylorformel/ !!Restglied!!
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Kein bestimmter Bereich J Herleitung der Taylorformel/ !!Restglied!!
Ehemaliges_Mitglied
  Themenstart: 2003-08-15

Tag, Leute!!! Als Herleitung der Taylorformel kannte ich bis jetzt nur: p(x)=a_0+a_1*x+a_2*x^2+a_3*x^3+a_4*x^4+... p'(x)=a_1+2*a_2*x+3*a_3*x^2+4*a_4*x^3+... p''(x)=2*a_2+2*3*a_3*x+3*4*a_4*x^2+... p'''(x)=2*3*a_3+2*3*4*a_4*x+... . . also: p(0)=a_0 p'(0)=a_1*1! p''(0)=a_2*2! p'''(0)=a_3*3! . . und daraus: a_0=p(0) a_1=p'(0)/1! a_2=p''(0)/2! a_3=p'''(0)/3! . . dadurch sind die Koeffizienten des unendlichen Polynoms bestimmt und man erhaelt: Tp(x)=p(0)+p'(0)/1!*x+p''(0)/2!*x^2+p'''(0)/3!*x^3+... und kurz: sum((f(x_0)^(i)*x^i)/i!,i=0,\inf) Mich interessiert aber vor allem noch das Restglied in Integralform! Daher muss die Herleitung durch partielle Integration erfolgen!! Ausgangsgleichung: f(x)=f(x_0)+int(1*f(t),t,x_0,x)<-Dieses Integral unendlich oft partiell integrieren!! soweit ist alles O.K., aber ich hab' gelesen: 1.<=>f(x)=f(x_0)+int((x-t)^0*f'(t),t,x_0,x) 2.<=>f(x)=f(x_0)+stammf(-(x-t)*f'(t),x_0,x)+int((x-t)^1*f''(t),t,x_0,x) 3.<=>f(x)=f(x_0)+(x-x_0)/1!*f'(x_0)+int((x-t)^1*f''(t),t,x_0,x) 4.<=>f(x)=f(x_0)+(x-x_0)/1!*f'(x_0)+stammf(1/2!*(x-t)^2*f''(t),x_0,x)+int(1/2!*(x-t)^2*f'''(t),t,x_0,x) 5.<=>f(x)=f(x_0)+(x-x_0)/1!*f'(x_0)+(x-x_0)^2/2!*f''(x_0)+int(1/2!*(x-t)^2*f'''(t),t,x_0,x) . . . Nun diese Art von partielle Integration komm mir ein bisschen Spanisch vor, sieht aus als wuerden 3 Sachen auf einmal gemacht werden! Es gilt doch: int(u'*v,x,a,b)=stammf(u*v,a,b)-int(u*v',x,a,b) also kaeme ich bei 1.->2. auf: f(x)=f(x_0)+stammf((x+t)^1*f'(t),x_0,x)-int((x+1)^1*f''(t),t,x_0,x) Die Schritte von 2.->3. und 4.->5. sind mir verstaendlich, aber wie kommt man auf 1.->2. und 3.->4.??? Und ausserdem wieso darf man bei 1. einfach schreiben: (x-t)^0=1 ist zwar aequivalent zur Ausgangsgleichung, aber dann koennte man ja alles moegliche in die Klammern schreiben, ergibt dann ja alles 1!! Was soll das? Warum darf man das? Waere echt super, wenn mir das mal jemand zerlegt bzw. analysiert und ausfuehrlich erlaeutert! Super wichtig!!! Moeglichst in 11,12er - Niveau, keine wichtigen Details auslassen, Bitte! Bitte keine Links angeben, ich habe schon gegoogelt. Vielen, vielen Dank! [ Nachricht wurde editiert von Eagleeye am 2003-08-15 17:24 ]

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Martin_Infinite
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  Beitrag No.1, eingetragen 2003-08-15

Deine ersten Gleichungen stimmten streng genommen nicht. Bevor ich was zur Herleitung der Integralform schreibe, hier erst mal ein sehr guter Link, vielleicht hattest den ja noch nicht.

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Hume
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  Beitrag No.2, eingetragen 2003-08-15

Hallo Eagleeye, der wesentliche Teil der Herleitung scheint Dir ja klar zu sein. Zwei Kleinigkeiten sind schnell erklärt: (i) Wieso ersetzt man bei 1. den Integranden 1 durch (x-t)^0|? Weil man das Ziel, also die Entwicklung in eine Potenzreihe, vor Augen hat. Und wieso darf man das? Weil per Definition für jedes y in \IR gilt y^0=1. (ii) Die partielle Integration wird jeweils nach t, nicht nach x, durchgeführt. Da im Integranden jeweils der Faktor (x-t) steht, kommt als "innere Ableitung" beim Integrieren nochmal der Faktor -1 dazu. (Substituiere dafür zB y=x-t.) Damit ist der Übergang von 1. zu 2. und von 3. zu 4. wieder korrekt. Reicht das zum Verständnis? Grüße Hume

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Ehemaliges_Mitglied
  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2003-08-15

Hi, Danke erstmal an Hume! Das mit dem y^0=1 fuer jedes y in R ist mir schon klar, nur das man da einfach einen Term reinschreibt, ist schon ein schlauer Trick, kam mir nur ein bisschen faul vor! Kettenregel ist mir schon bekannt, habe aber das "-t" uebersehen!!! Jetzt muesste wieder alles in Butter sein!! Martin Infinite, was genau stimmte denn da nicht, konkretisiere mal! Und waere schon toll, wenn du noch etwas zur Herleitung in Integralform schreiben wuerdest, immer raus damit! Deinen Link hatte ich allerdings doch noch nicht zu Gesicht bekommen, die Beweise sind dort besonders gut, schoene Wiederholung durch Anwendung zum Thema Vollst. Induktion!! [ Nachricht wurde editiert von Eagleeye am 2003-08-15 17:26 ]

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Martin_Infinite
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  Beitrag No.4, eingetragen 2003-08-15

Ja - ich bin noch nicht fertig (war gerade erst noch Fußballspielen) Du musst noch ein bisschen warten :-) Hmm, aber wenn das mit den partiellen Integrationen schon geklärt ist, muss ich ja nichts mehr posten, oder? Am Anfang setzt du stets voraus, dass der Konvergenzradius von p(x) ganz R ist. Denn nur dann kan man so schön gliedweise ableiten. Naja und das berücksichtigst du dann mehrmals nicht. Außerdem wird nicht klar, dass auf einmal Tp(x) sein soll, und wozu das alles gut sein soll. Gruß martin

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Ehemaliges_Mitglied
  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2003-08-15

Tagchen Martin_Infinite! Was ist ein Konvergenzradius? Wie berechnet er sich? Habe mal in einer Formelsammlung geguckt: Konvergenzkriterien!!! Hast du einen guten Link ueber dieses Thema? Ich guck noch mal bei den Antigauss Skripten! Wann konvergiert eigentlich eine !!Summme!! ? Koennte ausserdem was etwas ueber Leibnizisches K., Majorantenk., Quotientenk. und Wurzelk. gebrauchen! Als Student musstest du (ihr) doch saemtliche Skripte gesammelt haben, oder. Der erste Herleitung wird oft in Facharbeiten gebracht und soll eigentlich nur plausibel machen! Auf die Exaktheit wird oft verzichtet! Sorry, dass ich so oft nachfrage, aber in letzter Zeit habe ich richtig Spass am Lernen gewonnen! Gerade, weil dieses Forum auch auf Fragen kompetent antwortet. Danke sehr! [ Nachricht wurde editiert von Eagleeye am 2003-08-15 20:19 ]

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Martin_Infinite
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  Beitrag No.6, eingetragen 2003-08-15

Ich muss dich enttäuschen, ich bin noch nicht einmal in der 11. Klasse. (aber ich weise andere Merkmale für einen Studenten auf *ggg*) Du hast jetzt, mit diesem Thread, ziemlich viele Fragen gestellt. Sie sind alle Grundlagen der Analysis I und müssen sorgfältig behandelt werden. Und was hier oft passiert, nämlich einen kurzen Überblick geben, finde ich bei diesen Sachen unpassend. Wenn ich das richtig sehe, willst du etwas über - unendlichen Reihen - Konvergenzkriterien von unendlichen Reihen - die Taylorsche Formel - Taylorreihen (ist noch was anderes als die Formel) - Restglieddarstellungen davon informieren. (ich denke mal alle Punkte nur mit einer reellen Veränderlichen) Doch worüber muss man vorher Bescheid wissen? - Grenzwerte - Differenzierbarkeit - Definitionen von sup(A) und inf(A) - Potenzreihen - Mittelwertsatz - Vollständigkeitsaxiom und unmittelbare Konsequenzen (und vielleicht noch Cauchy-Folgen oder das Horner-Schema) Bitte sag mir, was dir (evtl.) noch unbekannt ist. Gruß Martin

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Martin_Infinite
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  Beitrag No.7, eingetragen 2003-08-15

Ach ja, was mir noch einfällt: HIER kannst du das Forum nach Begriffen wie zB Konvergenzradius durchsuchen. Du glaubst ja gar nicht, wie viel hier vergraben ist. Du wirst sicher auch was über deine anderen Begriffe finden. (aber wenn du dich richtig damit beschäftigen willst, hilft nur ein gutes Skript oder ein altes (heute sind die scheiße) Analyis I Buch für die Oberstufe (früher wurde in der Oberstude mehr gemacht als heute)

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Ehemaliges_Mitglied
  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2003-08-15

Ja, dann mache ich mich mal auf die Suche!!!

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Buri
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  Beitrag No.9, eingetragen 2003-08-20

Hi Adlerauge, ich glaub ich hab das, wonach du suchst. Martin's Maximalprogramm ist sicherlich OK und als Empfehlung zum Weitermachen gut. Aber ich gehe jetzt mal von einem Minimalprogramm, ausgehend von deiner Ursprungsfrage aus. Du willst doch eigentlich erstmal die Taylorformel mit Restglied bündig herleiten. Hier ist es, wie man es machen kann: Ich betrachte die Funktion R(x) = f(y)-f(x)-f'(x)(y-x)-f"(x)(y-x)²/2!-f'''(x)(y-x)³/3!       - ... - f(k)(x)(y-x)k/k! . Wichtig ist, daß ich diese "Restglied-Funktion" (daher auch R(x)) als eine Funktion von x alleine betrachte, obwohl sie natürlich auch von y abhängt. Ich möchte deswegen y als ein für alle mal festgehalten betrachten und nicht variieren; nur x soll variabel bleiben (ansonsten müßte man eine Bezeichnung verwenden, die als Symbol der "partiellen Ableitung" bekannt ist, das möchte ich gerade vermeiden, weil ich sonst weiter ausholen müßte - du würdest es dann achtlos, aber dennoch dankbar, beiseite legen). Nach diesen Vorbemerkungen mache ich mich nun daran, R(x) zu differenzieren (differenzieren nach x natürlich, y wird als Konstante behandelt!). Die Summanden außer den ersten beiden müssen nach der Produktregel behandelt werden. Es kommt dann folgendes heraus: R'(x)=-f'(x)-f"(x)(y-x)-f'''(x)(y-x)²/2!-f""(x)(y-x)³/3!- ...                          ... - f(k+1)(x)(y-x)k/k! (diese Glieder bis hier entstehen, wenn man den linken - oder einzigen - Faktor ableitet! Die Formel geht weiter - ich leite jetzt die rechten Faktoren ab ...) +f'(x)+f"(x)(y-x)+f'''(y-x)²/2!+f""(x)(y-x)³/3!+ ...                    ... + f(k)(y-x)k-1/(k-1)! Nun sieht man, daß sich (welch Wunder) alle Terme bis auf den fettgedruckten wegheben, also ist R'(x) = -f(k+1)(x)(y-x)k/k! . Nun ist aber y ò R'(x) dx  = R(y) - R(x) x (Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung) und R(y)=0 (wir hatten vereinbart, y festzuhalten, deswegen ist dies richtig). Daraus folgt schließlich durch Einsetzen            y R(x) = ò f(k+1)(x)(y-x)k/k! ,            x und wenn wir bedenken, was R(x) war, ergibt sich so die Taylorformel mit Integralrestglied. Wenn ich zu kurz argumentiert oder Unklarheiten erzeugt habe, schreib mir. Gruß Buri

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