Gegeben seien zwei sechsseitige Würfel. Auf den Würfeln stehen ganze Zahlen. Sei P(a) die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme a geworfen wird.
Es gilt:

P(2)=1/36 | | P(3)=2/36 | | P(4)=3/36 | | P(5)=4/36
P(6)=5/36 | | P(7)=6/36 | | P(8)=5/36 | | P(9)=4/36
P(10)=3/36 | | P(11)=2/36 | | P(12)=1/36

Gib alle möglichen Beschriftungen der beiden Würfel an, die diese Eigenschaft besitzen.

Im folgenden gelte die Konvention \IN = {0,1,2,...}

Addiert man zu allen Augenzahlen eines Würfels des Würfelpaars eine ganze Zahl a, so ändern sich auch alle auftretenden Summen um den Summanden a.

Daraus folgt:
a\) Wir können äquivalent zur Aufgabenstellung nach Würfelpaaren suchen, bei denen die auftretenden Summen exakt um 2 kleiner sind als die geforderten. Addiert man am Ende zu sämtlichen Augenzahlen beider Würfel je \+1, so hat man die gesuchte Verteilung.
b\) Nach dieser Modifikation ergibt genau ein Augenpaar die Summe 0, und dies ist die kleinste in der Summenverteilung auftretende Summe. Deshalb wird die Summe von den jeweils kleinsten auftretenden Augenzahlen der beiden Würfeln gebildet. Wir beschränken uns nun auf Würfelpaare, bei denen diese kleinsten Augenzahlen beide gleich 0 sind. Man erhält am Ende alle möglichen Würfelpaare, wenn man für jede ganze Zahl a die Augenzahlen des einen Würfels um \+a, und die des anderen Würfels um \-a modifiziert.

Mit der in b) vorgenommenen Einschränkung folgt auch, dass die noch betrachteten Würfelpaare beide mit nicht\-negativen ganzen Zahlen beschriftet sind.

Damit kann man einen Würfel mit den Augenzahlen [b_1 ,..., b_6] als Polynom p = sum(x^(b_i),i=1,6)\el\ \IN[x] darstellen, und es gilt p(1) = 6.
Wir bezeichnen nun die zu einem gültigen Würfelpaar gehörenden Polynome aus \IN[x] mit f und g.

Mit Hilfe der Theorie der erzeugenden Funktionen forumuliert man damit das Problem nochmals um:
Gesucht sind zwei Polynome f und g aus \IN[x], so dass
1\) fg = h mit h = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + 5x^4 + 6x^5 + 5x^6 + 4x^7 + 3x^8 + 2x^9 + x^10 und
2\) f(1) = g(1) = 6
erfüllt sind.

Aussage 1\) besagt, dass f und g Teiler von h sind.
Das Polynom h faktorisiert sich in \IQ[x] in h_1 ^2 h_2 ^2 h_3^2, wobei h_1 = x^2 - x + 1, h_2 = x + 1 und h_3 = x^2+x+1 sind.
Es kommen also nur noch die in \IN[x] liegenden Möglichkeiten f = h_1^a_1 h_2^a_2 h_3^a_3 mit {a_1 ,a_2 ,a_3 } \subsetequal\ {0,1,2} in Frage.

Aussage 2\) liefert:
6 = f(1) = h_1 (1)^a_1 h_2 (1)^a_2 h_3 (1)^a_3 = 2^a_2 3^a_3
und damit a_2 = a_3 = 1


Damit verbleiben noch die drei Möglichkeiten
I\) a_1 = 0
II\) a_1 = 1 und
III\) a_1 = 2.

Dementsprechend ergeben sich die Polynome
I\) f_I = 1 + 2x + 2x^2 + x^3
II\) f_II = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5
III\) f_III = 1 + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^7

und wegen g = h/f
I\) g_I = f_III
II\) g_II = f_II
III\) g_III = f_I

Alle diese Polynome liegen in \IN[x].

Macht man alle Umformungen der Aufgabenstellung rückgängig, so ergeben sich genau alle Würfelpaare mit folgenden Augenzahlen:

I\) [1+a, 2+a, 2+a, 3+a, 3+a, 4+a] und [1-a, 3-a, 4-a, 5-a, 6-a, 8-a],
II\) [1+a, 2+a, 3+a, 4+a, 5+a, 6+a] und [1-a, 2-a, 3-a, 4-a, 5-a, 6-a] sowie
III\) Lösung I\) mit vertauschten Würfeln,

wobei a\in\IZ ist.

\
Möglichkeit 1)
Erster Würfel:
1+a, 2+a, 3+a, 4+a, 5+a, 6+a
Zweiter Würfel:
1-a, 2-a, 3-a, 4-a, 5-a, 6-a
(Wie bei ''normalen'' Würfeln)

Möglichkeit 2)
Erster Würfel:
1+a, 2+a, 2+a, 3+a, 3+a, 4+a
Zweiter Würfel:
1-a, 3-a, 4-a, 5-a, 6-a, 8-a

Lösungsweg:

Die Aufgabe läßt sich darauf reduzieren ein 6*6 Raster so mit den möglichen Augensummen zu füllen so dass a_ij-a_ik=const. und a_ij-a_lj=const. Wenn  man Zeilen und Spalten der Größe nach ordnet ergibt sich o.B.d.A. (unterstrichen Zahlen ergeben sich automatisch aus den anderen eingetragenen)
array(2,3,,,,;,,,,,;,,,,,;,,,,,;,,,,,;,,,,,12)

Für den zweiten 3er gibt es zwei Möglichkeiten:
array(2,3,3,,,;,,,,,;,,,,,;,,,,,;,,,,,;,,,,,12)
oder
array(2,3,,,,;3,4__,,,,;,,,,,;,,,,,;,,,,,;,,,,,12)

Nun fügt man die 4er ein:
array(2,3,3,4,4,4;,,,,,;,,,,,;,,,,,;,,,,,;,,,,,12)
Diese Möglichkeit geht nicht da die letzte u. vorletzte Spalte unterschiedlich sein müßen.
array(2,3,3,4,4,;4,5__,5__,6__,6__,;,,,,,;,,,,,;,,,,,;,,,,,12)
array(2,3,3,4,,;4,5__,5__,6__,,;4,5__,5__,6__,,;,,,,,;,,,,,;,,,,,12)
array(2,3,3,,,;4,5__,5__,,,;4,5__,5__,,,;4,5__,5__,,,;,,,,,;,,,,,12)
Geht nicht, zu viele 5er.
array(2,3,4,4,,;3,4,5__,5__,,;,,,,,;,,,,,;,,,,,;,,,,,12)
array(2,3,4,,,;3,4,5__,,,;4,5__,6__,,,;,,,,,;,,,,,;,,,,,12)

Dann fügt man die 5er ein, macht wieder eine Fallunterscheidung....
Es ist nicht besonders viel Arbeit aber die Lösung mit den Polynomen ist natürlich viel eleganter.