Gib eine Zahlenfolge a_1\,...\,a_14 ganzer Zahlen mit 1 < a_j < 99 an, so daß die Summe sum(a_(k+1)/(a_(k-1)+a_k),k=1,14) mit a_0=a_14 und a_15=a_1 kleiner als 7 ist!
Realshaggy
Senior Dabei seit: 20.03.2008 Mitteilungen: 1293
Beitrag No.1, eingetragen 2008-03-21
Es ist nicht möglich, solche Zahlen zu finden, hinter der Aufgabe ist eine Ungleichung versteckt. Die Summe ist größergleich 7 und Gleichheit wird genau dann angenommen, wenn alle a_i übereinstimmen.
Um den Spaß nicht komplett zu nehmen nur eine Skizze eines Lösungsweges (wobei es bei Ungleichungen ja meist dutzende völlig verschiedene Lösungswege gibt):
Wie man sieht (wenn man die Identitäten a_15=a_1 und a_14=a_0 einsetzt), ist die Summe invariant unter zyklischer Vertauschung der a_i. O.B.d.A. sei also a_0 die kleinste der Zahlen und die anderen haben die Darstellung a_0+c_1, a_0+c_2, ...a_0+c_15. Nun schätzt man die Nenner so nach oben ab, daß man alle Brüche zusammenfassen kann, und das Ergebnis steht in einer Zeile da.
[ Nachricht wurde editiert von Realshaggy am 21.03.2008 12:36:18 ]
philippw
Senior Dabei seit: 01.06.2005 Mitteilungen: 1146
Herkunft: Hoyerswerda
Beitrag No.2, eingetragen 2008-03-21
\ Ich fang hier mal an, und behaupte, dass es keine solche Folge gibt. Allgemein müsste sogar folgendes gelten: sum(a_(i+1)/(a_(i-1)+a_i),i=1,n)>=n/2 Ein Beweis könnte so beginnen: Aus Cauchy-Schwarz folgt mit x_i=sqrt(a_(i+1)/(a_(i-1)+a_i)), y_i=sqrt(a_(i+1)*(a_(i-1)+a_(i))): (sum(a_(i+1)/(a_(i-1)+a_i),i=1,n))*((sum(a_(i+1)*(a_(i-1)+a_i),i=1,n)))>=(sum(a_i,i=1,n))^2
Zu zeigen wäre noch: n/2*sum((a_(i+1)*(a_(i-1)+a_i)),i=1,n)<=(sum(a_i,i=1,n))^2 Jetzt kann man sich überlegen, ob man die Ungleichung versucht zu beweisen, oder den Lösungsweg geht, den Realshaggy inzwischen über mir beschrieben hat (man sollte Beiträge auch abschicken, wenn man sie schreibt ^^)
Nein, eben nicht.
Die Zahl, die für beliebiges n definiert ist als
((Minimum dieser Summe))/n
hat einen Grenzwert für n -> ∞, und dieser Grenzwert schien es für Steven Finch, den "Vater" der mathematischen Naturkonstanten, wert zu sein, in die Liste aufgenommen zu werden.
Der Grenzwert ist ungefähr 0.47, aber ich habe leider vergessen, nach welchem Verfasser diese Konstante benannt ist.
Steven Finch hat seine "Liste der Konstanten" im Internet ein wenig reduziert, das liegt daran, daß es ein Buch von ihm gibt, das auch verkauft werden soll.
Meine Aufgabe ist nur ein bescheidenes Abfallprodukt dieser Untersuchungen, die vor ca. 60 Jahren mit einem Autor namens Diananda begannen.
Ich schreibe dies, weil es euch interessiert, aber auch deswegen, weil es euch nichts nützt.
Gruß Buri
Nein, eben nicht.
Die Zahl, die für beliebiges n definiert ist als
((Minimum dieser Summe))/n
hat einen Grenzwert für n -> ∞, und dieser Grenzwert schien es für Steven Finch, den "Vater" der mathematischen Naturkonstanten, wert zu sein, in die Liste aufgenommen zu werden.
Der Grenzwert ist ungefähr 0.47, aber ich habe leider vergessen, nach welchem Verfasser diese Konstante benannt ist.
Steven Finch hat seine "Liste der Konstanten" im Internet ein wenig reduziert, das liegt daran, daß es ein Buch von ihm gibt, das auch verkauft werden soll.
Meine Aufgabe ist nur ein bescheidenes Abfallprodukt dieser Untersuchungen, die vor ca. 60 Jahren mit einem Autor namens Diananda begannen.
Ich schreibe dies, weil es euch interessiert, aber auch deswegen, weil es euch nichts nützt.
Gruß Buri
Ok, wenn das so ist, muss ich nochmal neu nachdenken. Ich war der Meinung, die Ungleichung auf oben beschriebenem Weg schon einmal gelöst zu haben.
philippw
Senior Dabei seit: 01.06.2005 Mitteilungen: 1146
Herkunft: Hoyerswerda
Beitrag No.7, eingetragen 2008-03-21
So, ich habe meine 5 Jahre alte Notizen sogar wieder gefunden ^^. Es war eine Gruppenarbeit, bei der eine andere Gruppe den Spezialfall n=4 hatte, meine Gruppe eine vollkommen andere Ungleichung. Aber etwas hat es doch gebracht: Der Name Shapiro-Ungleichung stand daneben. Und schaut mal, was Wikipedia hat ... Shapiro_inequality
Durch Substitution von a_i:=x_(14-i) erhalten wir unsere Ungleichung, und n=14 ist natürlich der erste Wert, für den die Ungleichung nicht gilt. Jetzt ist es eine Zahlentheoretische oder programmiertechnische Aufgabe geworden, entweder ein Beispiel im Bereich zu finden, oder einen Nachweis, dass es für diese ganzen Wert gerade keine passende Zahlenfolge gibt.
Gruß, Philipp
EDIT: Hier noch ein Gegenbeispiel für n=20, das ich hier gefunden habe (allerdings keine ganzen Zahlen):
"counterexample (for n = 20) by M. J. Lighthill: for 1+5e, 6e, 1+4e, 5e,
1+3e, 4e, 1+2e, 3e, 1+e, 2e, 1+2e, e, 1+3e, 2e, 1+4e, 3e, 1+5e, 4e, 1+6e,
5e (where e ~ 0), our "cyclic sum" is equal to 10 - e^2 + O(e^3) < 10 :-)"
[ Nachricht wurde editiert von philippw am 21.03.2008 17:51:59 ]
matroid
Senior Dabei seit: 12.03.2001 Mitteilungen: 14341
Herkunft: Solingen
Beitrag No.9, eingetragen 2008-03-21
2008-03-21 17:12 - philippw schreibt:
EDIT: Hier noch ein Gegenbeispiel für n=20, das ich hier gefunden habe (allerdings keine ganzen Zahlen):
"counterexample (for n = 20) by M. J. Lighthill: for 1+5e, 6e, 1+4e, 5e,
1+3e, 4e, 1+2e, 3e, 1+e, 2e, 1+2e, e, 1+3e, 2e, 1+4e, 3e, 1+5e, 4e, 1+6e,
5e (where e ~ 0), our "cyclic sum" is equal to 10 - e^2 + O(e^3) < 10 :-)"
Hier, für n=14, ist nach einem Gegenbeispiel mit ganzen Zahlen gefragt. Gut zu wissen, daß man die Erfahrungen für n=2 oder n=3 nicht auf beliebige n übertragen darf.
Ich habe schon mal ein (naives) Programm geschrieben, aber wir werden alle tot sein, bis es fertig ist. Mal weiter überlegen.
Gruß
Matroid
[ Nachricht wurde editiert von matroid am 21.03.2008 19:02:56 ]
cow_gone_mad
Senior Dabei seit: 11.01.2004 Mitteilungen: 6651
Beitrag No.10, eingetragen 2008-03-21
Ich fasse zusammen. Finden taet man es. Notfalls muss jemand in die Bibliothek wandern, und suchen koennen...
Aber lieber selber loesen.
Ich wuerde mich erstmal nicht auf ganze Zahlen einschraenken. Da man durch Multiplikation mit einer grossen ganzen Zahl eine rationale Loesung immer ganz machen kann. Allerdings verletzt man dann die Schranke < 99. (Das Argument braucht noch Stetigkeit...)
Realshaggy
Senior Dabei seit: 20.03.2008 Mitteilungen: 1293
Beitrag No.11, eingetragen 2008-03-21
Verdammich, ich hab wohl Tomaten auf den Augen und find meinen Fehler nicht. Kann ihn mir bitte jemand zeigen?
Wie oben schon beschrieben ist durch die Nebenbedingungen an die a_i's die Summe invariant, wenn man mit den a_i's einen "Ringtausch" durchführt. Sei also oBdA a_0 das kleinste der a_i's und a_1=a_0+c_1, a_2=a_0+c_2 usw... mit c_i>=0
philippw
Senior Dabei seit: 01.06.2005 Mitteilungen: 1146
Herkunft: Hoyerswerda
Beitrag No.12, eingetragen 2008-03-21
Natürlich ist selbst lösen schöner. Aber jetzt werd ich deswegen die Zahlenfolge nicht für mich behalten , zumal sie keine vollständige Lösung ist, da Nullen vorkommen: 0,42,2,42,4,41,5,39,4,38,2,38,0,40 (aus dem Internet, find den Link aber nicht mehr, da mein Computer grad abgestürzt ist)
Von da aus lass ich mein Programm gerade suchen, ich hatte schon eine Folge dabei, die keine 0 und nur noch eine 1 enthält (alles verdoppelt läge die größte Zahl aber leider bei 164).
philippw
Senior Dabei seit: 01.06.2005 Mitteilungen: 1146
Herkunft: Hoyerswerda
Beitrag No.18, eingetragen 2008-03-21
99 ist leider nicht im Bereich, und außerdem sind es 16 Zahlen. Aber wenn es so mit 16 geht, warum nicht mit 14?
Mein Programm hat übrigens grad was ausgespuckt:
rennne
Ehemals Aktiv Dabei seit: 15.03.2008 Mitteilungen: 59
Beitrag No.20, eingetragen 2008-03-21
2008-03-21 19:41 - philippw schreibt:
99 ist leider nicht im Bereich, und außerdem sind es 16 Zahlen. Aber wenn es so mit 16 geht, warum nicht mit 14?
Mein Programm hat übrigens grad was ausgespuckt:
2,82,4,83,7,81,8,78,7,76,4,77,2,80,6.9999997488
Gruß, Philipp
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.14 begonnen.]
das sind aber auch 15 zahlen oder?(mit 6.9999997488)
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.18 gonnen.]
[ Nachricht wurde editiert von rennne am 21.03.2008 19:43:45 ]
viertel
Senior Dabei seit: 04.03.2003 Mitteilungen: 27746
Herkunft: Hessen
Beitrag No.27, eingetragen 2008-03-21
2008-03-21 19:55 - Dr_Sonnhard_Graubner schreibt:
Hallo, auch diese Beispiel enthält leider die 0 und die 1:
50, 5, 48, 3, 48, 1, 50, 0, 52, 1, 54, 4, 53, 6
Viele Grüße,Sonnhard.
Hallo Sonnhard
Ersetze einfach die 0 und die 1 durch 2, dann paßt es: 6.9985660025169861331161468538881479
Buri
Senior Dabei seit: 02.08.2003 Mitteilungen: 46331
Herkunft: Dresden
Beitrag No.29, eingetragen 2008-03-22
Hi viertel,
dein Summenwert 6.99856600251... ist eine Näherung für den exakten Wert
7-168142367/117254297160\., aber der gehört zu einer anderen Summe, weil der Nenner durch 23, 43 und 47 teilbar ist, und diese Primzahlen kommen in keinem Nenner der Summe vor.
Wie auch immer, auch diese 13 Punkte habt ihr euch verdient. Glückwunsch an philippw und cow_gone_mad!
Gruß Buri
viertel
Senior Dabei seit: 04.03.2003 Mitteilungen: 27746
Herkunft: Hessen
Beitrag No.30, eingetragen 2008-03-22
Buri, warum?
Ich habe Sonnhards modifizierten Vektor
[50, 5, 48, 3, 48, 2, 50, 2, 52, 2, 54, 4, 53, 6]
genommen. Natürlich sind da die von Dir genannten Primzahlen nicht enthalten, müssen sie aber auch nicht, da der Nenner jeweils aus den Differenzen benachbarter Zahlen entsteht.
*stutz*
Differenzen? Ich Hirni Im Nenner steht doch die Summe zweier ai.
@Sonnhard
Damit taugt meine "Korrektur" Deiner Folge natürlich nix mehr
cow_gone_mad
Senior Dabei seit: 11.01.2004 Mitteilungen: 6651
Beitrag No.31, eingetragen 2008-03-23
Hallo ihr
Nur mal aus Neugierde: Kennt jemand eine Aussage wie folgt:
2008-03-19 10:27 - Kay_S schreibt:
Gib eine Zahlenfolge a_1\,...\,a_14 ganzer Zahlen mit 1 < a_j < 99 an, so daß die Summe sum(a_(\red\ k \black\ )/(a_(k-1)+a_(\red\ k+1 \black\ )),k=1,14) mit a_0=a_14 und a_15=a_1 kleiner als ? ist!
Mich taet das aus diversen Gruenden interessieren. Auch fuer andere Zahlen als 14....
Liebe Gruesse,
cow_
P.S.: Ich denke es ist sturmfrei fuer weiterfuehrende Probleme.
Delastelle
Senior Dabei seit: 17.11.2006 Mitteilungen: 1626
Beitrag No.32, eingetragen 2008-03-28
Hallo Leute!
Zur Aufgabe habe ich ein paar Lösungen spezieller Struktur
gefunden:
Fortran
for Basiszahl1 =2:92
for Basiszahl2 =2:92
a(ungerader Index):= Basiszahl1 + Zufallszahl aus [0,9]
a(gerader Index):= Basiszahl2 + Zufallszahl aus [0,9]
dann lokale Suche mit Nachbarschaft +/-1 für alle Komponenten
Ausgabe falls Zielfunktionswert < 7
Ohne die Lösungen von philippw und cow_gone_mad wäre ich wohl nicht auf die Idee gekommen, wo man suchen sollte...
Buri
Senior Dabei seit: 02.08.2003 Mitteilungen: 46331
Herkunft: Dresden
Beitrag No.33, eingetragen 2008-03-29
Lösung:
Eine solche Folge ist zum Beispiel 90,3,87,6,87,9,90,10,94,8,96,4,94,2 mit dem Summenwert
7-(419*1223)/(2^3*3^2*5^2*7^2*11*13*17*23*31)\approx\ 6.9999966480, die Lösung des MP\-Teams aus Beitrag \#24 ergibt 7-(45541*1396069)/(2^4*3^4*5*7*11*17*29*41*43*79*83*89)\approx\ 6.99999974878,
und Delastelle hat mehrere Lösungen gefunden, die noch besser sind, zum Beispiel 6.9999435... .
Ich habe die Lösung durch unsystematisches Probieren gefunden, indem ich die ersten vier Glieder zufällig wähle und die übrigen Glieder durch Nullsetzen einer partiellen Ableitung mit anschließendem Runden bestimme, diese Methode hat cow_gone_mad im Beitrag #15 beschrieben.
Das absolute Minimum dieser Funktion von 14 Variablen kenne ich nicht, es ist eine algebraische Zahl zwischen 6.9 und 7, deren Minimalpolynom sicherlich einen ziemlich hohen Grad hat, vielleicht mehrere Tausend.
Weil die Zahl 14 gerade ist, gibt es stationäre Punkte der Funktion, die die Form (a,b,a,b,a,b,a,b,a,b,a,b,a,b) haben (beitrag #3), und es hängt vom Wert des Quotienten a / b ab, ob es ein lokales Minimum ist.
Dies kann entschieden werden, indem man die Hessematrix berechnet und auf positive Definitheit prüft. Für 0 < a ≤ b liegt sie vor, wenn die Zahl a / b größer als ca. 0.06 ist, für kleinere Werte ist die Hessematrix indefinit und hat einen zweidimensionalen Eigenraum zum kleinsten, negativen Eigenwert. Es ist interessant, diesen Eigenraum zu untersuchen, die Eigenvektoren können durch Sinus und Cosinus von Vielfachen des Winkels Pi / 14 ausgedrückt werden.
Dies ist der Grund dafür, daß das absolute Minimum der Funktion kleiner als 7 ist, aber eine ähnlich einfache Begründung für eine ungerade Anzahl von Summengliedern (ab n = 23 kann der Summenwert n / 2 unterschritten werden) kenne ich nicht.
Es gibt also reelle und somit auch rationale und schließlich auch ganzzahlige Lösungsvektoren für diese Aufgabe.
Wenn man aber den Bereich zu stark einschränkt, gibt es keine ganzzahligen Lösungen mehr, ich habe zum Beispiel keine Lösungen mit 1 < aj < 50 gefunden.
[ Nachricht wurde editiert von Buri am 29.03.2008 12:44:15 ]
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Themenstart: 2008-03-19
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Beitrag No.4, eingetragen 2008-03-21
Beitrag No.9, eingetragen 2008-03-21
Im Nenner steht doch die Summe zweier ai.
