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Matroids Matheplanet Forum Index » 7. Matheplanet Challenge » Aufgabe 10
Thema eröffnet 2008-03-19 10:31 von Kay_S

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Kein bestimmter Bereich J Aufgabe 10
Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.160, eingetragen 2008-03-29


Aufgabe 10 - Problemanalyse
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Anmerkungen:
1. Wenn der Schwimmer sich auf dem Rand des inneren Quadrates befindet und der Läufer im zugehörigen Verlustpunkt (diesen Punkt erhält man, wenn man zum Beispiel einen Punkt X auf der Seite PQ auf die Verbindungsstrecke der Mitten von AD und CD projiziert und von dieser Strecke auf kürzestem Wege achsenparallel zum Rand projiziert.
Diese Kombination zweier Projektionen ist keine Zentralprojektion von der Mitte des Quadrats, und wenn sich der Schwimmer bewegt, dann bewegt sich der zugehörige Verlustpunkt nicht mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit. Hier liegt der Grund, warum Winkelgeschwindigkeiten bei einem quadratischen Becken nichts nützen, das hilft nur, wenn das Becken kreisförmig ist.
Ebenso ist es mit der Bedingung "Schwimmer, Mitte, Läufer auf einer Geraden", sie gilt für den Schwimmer auf dem Quadratrand und für den Verlustpunkt nicht und gibt somit die Verhältnisse nicht richtig wieder.
2. Es wurde versucht, die Strategie des Läufers von der Schwimmrichtung abhängig zu machen (analog die Schwimmerstrategie von der Laufrichtung). Das ist grundsätzlich falsch.
Betrachten wir die Situation   Läufer   (((Verlustintervall))),
also eine Position des Läufer links von Verlustintervall.
Der Schwimmer könnte nun (unklugerweise) so schwimmen, daß das Verlustintervall weiter nach rechts rückt. Wenn sich der Läufer an der Schwimmrichtung orientiert, würde er nach rechts laufen, also auf das Intervall zu, das sich gerade von ihm entfernt.
Zwar schadet ihm das nichts (solange es sich der Schwimmer nicht anders überlegt), aber seine Strategie muß sein, sich von dem Verlustintervall zu entfernen.
Mit anderen Worten, der Läufer muß die richtige Antwort auf das finden, was der Schwimmer am besten tun könnte, nicht was er wirklich tut. Ebenso ist es mit vertauschten Rollen: Nicht, wohin der Läufer läuft, ist für den Schwimmer wichtig, sondern nur, wo der Läufer gerade ist, und wohin er am besten laufen müßte.
3. Man kann zu jeder Schwimmerposition die Länge des Verlustintervalls berechnen und die Niveaulinien dieser Funktion betrachten. Es sind Achtecke, deren Eckpunkte auf den Strecken AP, BP, BQ, CQ, CR, DR, DS, AS liegen. Dies ist für beliebige Werte n < N möglich, wobei man k gleich der Wurzel aus n2 - 1 setzen muß.

Als nächstes werde ich eine Gewinnstrategie des Schwimmers beschreiben und damit eine untere Schranke von N angeben, es ist die aus dem Beitrag #129 von rocolo.
Gruß Buri

[ Nachricht wurde editiert von Buri am 17.04.2011 15:08:53 ]



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.161, eingetragen 2008-03-29


Eine Strategie für den Schwimmer:
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Diese Zahl läßt sich mit Hilfe von Quadrat- und Kubikwurzeln ausdrücken, die Ausdrücke sind überaus umfangreich, und es kommen sehr große Zahlen darin vor.
Für n < N braucht der Läufer für eine Umrundung des Beckens länger als der Schwimmer für eine Runde auf dem Quadratumfang.
Jedem Punkt X auf den Seiten des inneren Quadrats entspricht ein Punkt L auf dem Quadratrand, welcher die für den Läufer ungünstigste Position ist. Beim Überschreiten der Ecken des inneren Quadrats ändert sich dieser Punkt unstetig. Wenn der Schwimmer zum Beispiel den Eckpunkt Q von rechts unten erreicht und links abbiegt, springt der Punkt L von einem Punkt U auf der linken Hälfte des unteren Beckenrandes zum symmetrischen Punkt V auf dem rechten Beckenrand.
Die Strategie des Schwimmers ist nun:
1. Schwimme entlang der Seiten des Quadrats, bis
a) der Läufer genau an dem zugeordneten Punkt L steht oder
b) bis der Läufer sich zwischen den Punkten U und V befindet, wenn der Schwimmer einen Eckpunkt, zum Beispiel Q, erreicht.
2. Wende im Fall a), Quadratseite PQ, die durch rote Strecken gezeichnete Fluchtstrategie an und schwimme stets so, daß der Läufer im Verlustintervall (das von der Schwimmerposition abhängt, nach den Formeln für V+ und V- aus dem vorigen Beitrag) verbleibt. Wenn der Läufer die Richtung ändert, muß der Schwimmer nicht sofort, aber irgendwann doch reagieren (wenn der Läufer die Mitte des augenblicklichen Verlustintervalls erreicht oder überschreitet), dann muß er Parallelen zu den rot gezeichneten Strecken schwimmen.
3. Schwimme im Fall b), Eckpunkt Q, nach oben, dabei wachsen die Punkte U und V zu zwei getrennten Verlustintervallen an, die sich irgendwann zu einem einzigen Intervall vereinigen. Der Läufer hat keine Möglichkeit zu entkommen.
Aus dieser Sicht haben sich die Rollen der Spieler vertauscht. Jetzt ist der Läufer der "Gejagte", und der Schwimmer ist der "Jäger".
Sobald der Läufer ein Verlustintervall betritt (dies kann geschehen, wenn sich die beiden Intervalle vereinigt haben, oder schon früher), dann beginne die rote Strategie anzuwenden, wenn sich der Läufer im linken Verlustintervall am unteren Beckenrand befindet, die anderen Fälle werden durch Anwendung der Symmetrie des Quadrates behandelt.
 



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Animus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.162, eingetragen 2008-03-29


Hallo Buri

Erst mal Danke für die spannende Aufgabe und aktuell für die präzise Schilderung der Läuferstrategie für n > N=5,78859...
Damit haben wir eine obere Schranke für N. Im zweiten Posting beschreibst Du eine Gewinnstrategie für den Schwimmer mit n < N = 5,66... als untere Schranke.

Jetzt bin ich etwas unsicher, ob die 5,78859..., auf die sich Rocolo und ich zuletzt einigten, die Lösung sein soll oder ein anderer Wert zwischen 5,66.. und 5,78859...

Liebe Grüße
Animus

[ Nachricht wurde editiert von Animus am 29.03.2008 20:46:15 ]



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rocolo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.163, eingetragen 2008-03-29


Hallo Buri und Animus,

wenn ich Buri richtig verstanden habe, soll 5,66009... der richtige Wert sein. Ansonsten würde ja auch das gegnerische Team keine Punkte bekommen, wenn ich die Regeln richtig verstanden habe.
Auch von mir einen Dank für die schöne Aufgabe und Lösung.

Irgendwie kann es auch ärgerlich sein, wenn man die Lösung bereits hat und diese nicht erkennt. :(
Dazu möchte ich auch noch die Probleme erläutern, die mir bei dieser Lösung von mir nicht behoben werden konnten.
Zum einen ist dies die Stetigkeit, die man jedoch sehr leicht beheben kann, da man ja wie Buri beschreibt die Intervalle vergrößert. Dies ist auch der Vorteil der Lösung von Buri. Er erhält dadurch mehr Informationen.
Das andere Problem, welches ich aufgrund der Eigenschaften von meinem Bereich A für unwahrscheinlich gehalten hatte, jedoch meiner Ansicht nach diese Lösung "zerstört" hätte, ist die Möglichkeit der Kombination von den bei mir 3 und 8 genannten Wegen, das heißt in Buris Bild sind dies die Wege zur linken und rechten Wand.
Diese führen übrigens auch zu einer besseren Lösung, denke ich, wenn der Läufer sich nicht beliebig nah an den einen der Oppositionspunkte an der Unstetigkeitsstelle annähern könnte und da man ihn auch nicht zwingen kann in den Bereich hinein zu gehen, sollte es die optimale Lösung sein.

Viele Grüße,
rocolo



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.164, eingetragen 2008-03-29


2008-03-29 20:43 - Animus schreibt:
... ob die 5,78859..., auf die sich Rocolo und ich zuletzt einigten, die Lösung sein soll oder ein anderer Wert zwischen 5,66.. und 5,78859...
Hi Animus,
nein, siehe den Anfang von meinem Post #161.
Die Läuferstrategie ist nicht optimal, weil sie Chancen ungenutzt läßt, sich besser auf dem Rand zu positionieren und eher zu reagieren, als wenn der Schwimmer das kleine Quadrat verläßt.
Das heißt, Schritt 1. der Strategie aus Post #160 kann noch verbessert werden.
Der Grund liegt darin, daß der Umfang des kleinen Quadrats größer als 8 / N ist, ein wenig nur, aber es ist größer.
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Der Bereich A ergibt etwa ein Achteck mit vier achsenparallelen und vier diagonalen Seiten, und das optimale n ist ca. N = 5.718.
Ungewiß ist, ob damit die angestrebte Genauigkeit erfüllt wird.
Das Verfahren bestimmt zwar simultan optimale Strategien für beide Spieler (ja, es ist ein Spiel, nämlich ein Differentialspiel), aber eine Analyse der Verfahrensfehler ist kaum möglich, man kann nur die Feinheit der Näherung erhöhen und sehen, was passiert.

Ferner ist nicht vollkommen sicher, ob die Situation außerhalb des kleinen Quadrates, wo die Verlustzone des Läufers ein einziges Intervall auf dem Rand ist, auf das Innere des Quadrates übertragen werden kann. Möglicherweise besteht die Verlustzone doch in gewissen Fällen aus zwei Intervallen, das kann man aber erst entscheiden, wenn man einer exakten Lösung des Problems nähergekommen ist.

Ich teile es mit, wenn ich weitere Ergebnisse erziele und verbesserte Werte berechnen kann. Es bleibt noch einiges zu tun, eine exakte Lösung wäre doch wünschenswert, und vor allem möchte man auch die Strategien sehen, die bei einer Näherungsrechnung nur in der Masse der Daten verborgen sind.
Gruß und Dank an alle fürs Mitmachen!
Buri





[Die Antwort wurde nach Beitrag No.162 begonnen.]



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Animus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.165, eingetragen 2008-03-30


@ Buri

Bild

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Schwimmer

Damit sollte der Wert von N als gleichzeitige obere und untere Schranke fixiert sein.

Grüße
Animus
[ Nachricht wurde editiert von Animus am 30.03.2008 04:58:16 ]
[ Nachricht wurde editiert von Buri am 21.06.2009 13:11:43 ]



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.166, eingetragen 2008-03-30


Hallo Animus,
2008-03-29 13:53 - Buri schreibt:
Aus der Gewinnstrategie des Läufers für n > 5.78859 läßt sich keine Gegenstrategie des Schwimmers ableiten.
Doch, das ist möglich, und du hast es bewiesen, sehr schön!
Ich kann deine Strategie in allen Teilen nachvollziehen.
2008-03-29 13:53 - Buri schreibt:
Der Läufer kann das stets verhindern, wenn er das Becken schneller umrunden kann als der Schwimmer das Quadrat, und das kann er ... für beliebiges n > Wurzel aus 2.
Falsch! Er kann es nicht.
2008-03-29 13:53 - Buri schreibt:
... Stetigkeitsüberlegungen ... Begründung indessen sehr kompliziert ...
Hinfällig. Ich habe solche Begründungen auch nicht bis zu Ende ausgeführt, gut zu wissen, daß es gar nicht geht.

Meinen herzlichen Glückwunsch zu dieser Lösung!
Was das im Hinblick auf meine eigenen Überlegungen bedeutet, muß ich erst noch untersuchen, insbesondere interessiert es mich, wie die Niveaulinien, deren Verlauf ich untersucht habe, nun wirklich exakt verlaufen, oder ob in meinem Ansatz ein Fehler steckt, das heißt, solche Niveaulinien gibt es gar nicht, weil der wahre Sachverhalt komplizierter ist und nicht durch eine einzige Zahl wiedergegeben werden kann.

Ich schließe mich also deinen Schlußfolgerungen an und stelle fest, daß wir bis auf weiteres davon ausgehen, daß die richtige Antwort
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Viele Grüße Buri



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rocolo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.167, eingetragen 2008-03-31


Hallo Buri, hallo Animus,
die Lösung von Animus beinhaltet zwar eine klare Vorgehensweise, jedoch würde mich interessieren wie du auf bestimmte Formeln kommst, bei denen ich noch nicht genau verstanden habe wie sie entstanden sind.
Wie kommst du auf den letzten Term von 1/n > 1/N > 1/(sqrt(N^2-1)+1)?
Wie erhält man sqrt(2)/(sqrt(n^2-1)+1)?
Bei der Eigenschaft der oberen Grenze wäre ich mir auch nicht 100%-ig sicher...

@Buri: Bei deiner Lösung hast du in der Nähe von Q einen Punkt E eingezeichnet bei dem beide Verbindungen zu einer Wand verlaufen. Nach meinen Berechnungen sind in der Nähe der Eckpunkte des Vierecks die Verbindungen zu einer benachbarten und dieser gegenüberliegenden Wand besser...


Die Erkenntnis aus meinem oberen post scheint ja wegen Animus besserer Lösung falsch zu sein. Dies liegt wahrscheinlich daran, dass man den Läufer doch zwingen kann in den Bereich zwischen den beiden Oppositionen an der Unstetigkeitsstelle zu gehen.

Viele Grüße,
rocolo

(P.S. Antwortet bitte noch heute oder zumindest nicht morgen... ;) )



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Buri
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Hi alle,
man kann die Strategie von Animus noch klarer veranschaulichen, wenn man auch den Mittelpunkt des Beckens mit in Betracht zieht.

Hier ist eine Schar von Bahnkurven, auf denen der Schwimmer entlangschwimmt, wenn der Läufer stehenbleibt. Dargestellt ist ein Ausschnitt des Bildes aus dem Beitrag #160.

Jede Kurve ist einer Läuferposition auf dem Beckenrand zugeordnet.
Bewegt sich der Läufer, dann wechselt der Schwimmer auf die benachbarte, neue Kurve, das kann er, weil der Abstand zwischen den Kurven (es sind Streckenzüge aus je zwei Strecken) um einen Faktor kleiner ist als nötig, der Faktor ist kleiner als eine feste Zahl < 1. Der Schwimmer kann also gleichzeitig seinen Abstand zur Mitte ständig vergrößern, mit einer Geschwindigkeit, die nach unten beschränkt ist.

So erreicht er nach spätestens nach einer im voraus angebbaren Zeit den Rand des kleinen Quadrats, und dann schwimmt er nach der Strategie, die durch rote Strecken angedeutet ist.

Übrigens ist es nicht wichtig, wie diese blauen Bahnkurven im einzelnen verlaufen, wichtig ist nur, daß es solche Kurven mit den nötigen Abstandseigenschaften gibt. Man kann (ohne Anfangs- und Endpunkt zu ändern) geringfügig daran "wackeln", und es geht immer noch, aber durch einfache Strecken vom Mittelpunkt zum Rand kann man sie nicht ersetzen.
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Nach den hier abgebildeten Bahnkurven habe ich in Anlehnung an den Fall eines kreisförmigen Beckens (dort sind es einfach Kreisradien) intensiv gesucht, aber vergebens. Ich habe nur festgestellt, daß es mit geradliniger Verbindung nicht geht, außerdem war mir der Rand des Gebietes, in dem diese Bahnkurven liegen (das auf der Spitze stehende Quadrat) noch nicht bekannt.

Im Fall eines kreisförmigen Beckens kann man sich überlegen, daß der Schwimmer, wenn er von Radius zu Radius springt, während der Läufer mit maximaler Geschwindigkeit läuft, einen Halbkreis beschreibt, der im Mittelpunkt beginnt und den "kritischen", inneren Kreis vom Radius 1 / N (der Optimalwert N ist ca. 4.66) berührt.

Wir sind nun gut gerüstet, um auch andere Beckenformen zu untersuchen, zum Beispiel ein regelmäßiges n-Eck sowie ein n-Eck, das nicht allzusehr von einem regelmäßigen abweicht, insbesondere ein Rechteck, das fast quadratisch ist usw.
Auch kann man einen Grenzübergang n --> ∞ versuchen und gekrümmte Beckenränder betrachten, die Lösung im Falle des Kreises ist bekannt (Internet-Suche nach "duck and fox").
Gruß Buri
[ Nachricht wurde editiert von Buri am 31.03.2008 22:49:06 ]



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Animus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.169, eingetragen 2008-04-01


HAllo rocolo

Die Zahl N und die Größe des schrägen Quadrates erhält man durch die Rechung in meinen ersten Posting (No 64)(man muss nur den Wert von x verdoppeln, um Buris Werte zu erhalten, da ich von einem Ursprungsquadrat der Seitenlänge 1 ausgegangen bin). Die Gleichungen bedeuten, dass bei Mittelstlellung des Läufers und der Schwimmers in Opposition mit Abstand x zum gegenüberliegendem Beckenrand sowohl beim langen Weg nach unten wie beim langen Weg zur Seite (Über die 2. untere Ecke!) die Spieler jeweils genau aufeinandertreffen:

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Hallo Buri

Danke für die rasche und kompetente Rückmeldung. Da wir letztlich die richtige Lösung hatten, wäre es unheimlich nett, uns die Punkte zu schenken, obwohl nur zwei am Abgabetag (rocolo und ich) die richtig korrigierte Lösung auf den allerletzten Drücker (offizieller Startzeitpunkt 10:31 oder 10:40?) gepostet haben.

An der ganzen Verwirrung bin ich leider schuld, da ich anfänglich die richtige Lösung gepostet hatte, dann aber wegen der zwanglosen Erreichbarkeit richtigen Bahnkurven im schrägen Quadrat von einer weiteren Optimierungsmöglichkeit ausgegangen bin. Leider hatte ich dabei übersehen, dass der Gewinnpunkt bei größerem n in den Ecken des schrägen Quadrates dann einen unstetigen Sprung macht, wenn der Läufer das Eck umrundet, wodurch der Gewinnpunkt nicht mehr eingefangen werden kann. Dein Nachweis für die sichere Strategie des Läufers ist da natürlich viel schöner.
Naochmals danke für das schöne Rätsel!!

Grüße
Animus
[ Nachricht wurde editiert von Animus am 01.04.2008 01:25:15 ]
[ Nachricht wurde editiert von fed am 08.04.2012 11:39:55 ]



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Kay_S hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Kay_S hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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