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Kein bestimmter Bereich J Aufgabe 10
Kay_S
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2008-03-19


Aufgabe 10 (19 Punkte)

In der Mitte eines quadratischen Schwimmbeckens befindet sich ein Schwimmer, in einer der Ecken steht ein "Fänger", der sich am Rand des Schwimmbeckens bewegt und n-mal so schnell laufen kann, wie der Schwimmer schwimmt.
Der Schwimmer möchte zum Rand des Beckens schwimmen, bevor der "Fänger" bei ihm ist, der "Fänger" versucht das Gegenteil, also den Schwimmer "einzufangen".
Man bestimme den bestmöglichen Wert N, so daß der Schwimmer für jedes Geschwindigkeitsverhältnis n < N eine Fluchtstrategie besitzt.
Als Antwort ist die Angabe einer Bestimmungsgleichung für N (die außer dem gesuchten N auch andere, zum Beispiel negative Lösungen haben kann) oder der Wert N auf drei Nachkommastellen abgerundet verlangt.
Beide Teilnehmer sind als punktförmig anzunehmen, und sie können jederzeit und augenblicklich beobachten, was der andere tut.



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viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2008-03-19


Nur mal zur Sicherheit:
Variablen wie n und N assoziieren bei mir immer ganze bzw sogar natürliche Zahlen.
Nun ist das für N wohl nicht der Fall, sonst wäre die Angabe "auf drei Nachkommastellen abgerundet" sinnlos.
Ist demzufolge auch fed-Code einblenden (negatives n wäre ja sinnlos)?



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Kay_S
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2008-03-19


Das kleine n ist natürlich auch reell ;-)

Kay



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rennne
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2008-03-21


wenn der läufer an einem eck startet und der schwimmer zum gegenüberliegenden eck schwimmt , dann muss der läufer eine 2*wurzel(2) größere strecke zurücklegen um an diese ecke zu kommen.
damit der läufer den schwimmer mit dieser taktik bekommt muss N also mindestens 2*wurzel(2) sein.
allerdings ist die aufgabe nun recht kompliziert.
kennt man den die taktik des läufers?rennt er immer dahin wo der geschwindigkeitsvektor des schwimmers das becken schneiden würde?



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2008-03-21


Nun, die Aufgabe ist schon komplizierter, da weder der schwimmer noch der Läufer weiß, wie sich der jeweils andere in Zukunft bewegen wird, dass einzig bekannte ist der jeweils derzeitige Aufenthaltsort des Anderen. Und die Bewegungen müssen durchaus nicht geradlinig sein!

Die beste geradlinige Bewegung des Schwimmers wäre übrigens nicht das Ansteuern der dem Läufer gegenüberliegenden Ecke, sondern eine der beiden an diese angrenzende Seiten, und zwar dort den Punkt, der diese Seite im Verhältnis 2:1 (d.h. das Drittel, welches näher an der dem Läufer gegenüberliegende Ecke liegt) teilt. Dann könnte das Geschwindigkeitsverhältnis nämlich bis sqrt(10)-epsilon betragen.


Aber ich bin der Meinung es geht wesentlich besser, wenn man nämlich ausnutzt, dass der Läufer ja nicht weiß, welchen Punkt der Schwimmer ansteuert, und also für jeden Randpunkt gelten muss: "Kann der Schwimmer ihn in Zeit t erreichen, so muss ich es als Läufer auch können". Allerdings habe ich dafür noch keine Handhabe gefunden...


Grüße,
Cyrix



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rennne
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2008-03-21


2008-03-21 11:40 - cyrix schreibt:
Nun, die Aufgabe ist schon komplizierter, da weder der schwimmer noch der Läufer weiß, wie sich der jeweils andere in Zukunft bewegen wird, dass einzig bekannte ist der jeweils derzeitige Aufenthaltsort des Anderen. Und die Bewegungen müssen durchaus nicht geradlinig sein!

Die beste geradlinige Bewegung des Schwimmers wäre übrigens nicht das Ansteuern der dem Läufer gegenüberliegenden Ecke, sondern eine der beiden an diese angrenzende Seiten, und zwar dort den Punkt, der diese Seite im Verhältnis 2:1 (d.h. das Drittel, welches näher an der dem Läufer gegenüberliegende Ecke liegt) teilt. Dann könnte das Geschwindigkeitsverhältnis nämlich bis sqrt(10)-epsilon betragen.


Aber ich bin der Meinung es geht wesentlich besser, wenn man nämlich ausnutzt, dass der Läufer ja nicht weiß, welchen Punkt der Schwimmer ansteuert, und also für jeden Randpunkt gelten muss: "Kann der Schwimmer ihn in Zeit t erreichen, so muss ich es als Läufer auch können". Allerdings habe ich dafür noch keine Handhabe gefunden...


Grüße,
Cyrix
stimmt wurzel(10) ist besser.
aber weiß der läufer wirklich nicht welchen punkt der schwimmer momentan (also welche richtung sein geschwindigkeitsvektor zu dem zeitpunkt hat) ansteuert?ich kann das nicht sicher herauslesen.



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2008-03-21


Selbst wenn der Läufer die aktuelle Richtung des Schwimmers kennt: Was nützt ihm das? Der Schwimmer kann doch seine Richtung augenblicklich beliebig ändern (zumindest würde ich annehmen, dass er Knicke in seiner Bewegung durchführen kann).


Grüße,
Cyrix



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rennne
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2008-03-21


2008-03-21 12:07 - cyrix schreibt:
Selbst wenn der Läufer die aktuelle Richtung des Schwimmers kennt: Was nützt ihm das? Der Schwimmer kann doch seine Richtung augenblicklich beliebig ändern (zumindest würde ich annehmen, dass er Knicke in seiner Bewegung durchführen kann).


Grüße,
Cyrix
ja wenigstens könnte man dann die bewegungsgleichung des läufers in abhängigkeit des schwimmers bestimmen.
bei völlig beliebigen taktiken bin ich ansatzlos.



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Realshaggy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2008-03-21


Hm, eventuell ein Differentialgleichungssystem.

Eine Idee für eine Strategie:

Bei der bekannten Aufgabe mit dem kreisförmigen See besteht eine gute Strategie ja darin, sich erstmal auf einem zu dem See konzentrischen Kreis eines bestimmten Radius so zu positionieren, daß Schwimmer, Mittelpunkt und Läufer auf einer Linie liegen, und zwar in dieser Reihenfolge. Das ist bestimmt auch hier eine gute Idee.

Danach sollte der Schwimmer versuchen, immer den dem Läufer "gegenüberliegenden" Punkt (bez. des Mittelpunkts des Schwimmbeckens) anzusteuern, und zwar solange, wie er diesen vor dem Läufer erreichen könnte, wenn er seine Bewegung ab diesem Zeitpunkt geradlinig beibehält. Dies scheint optimal zu sein, denn ein Punkt der näher zum Läufer hin liegt (entlang des Beckenrandes) ist schlechter, und einen Punkt "weiter weg" vom Läufer, den er ansteuern könnt, gibt es nicht, da der Läufer dann seine Laufrichtung ändern würde. Irgendwann wird er diesen Punkt nicht mehr vor dem Läufer erreichen können, dann schwimmt er auf direktem Weg zum Rand.

Was die Aufgabe imho kompliziert macht: Es werden Sprünge im Lösungsraum auftreten, wenn man nur leicht an den Parameter N wackelt. Und zwar verursacht durch das quadratische Schwimmbecken, da die Position des nächstliegenden Randpunktes nicht stetig abhängig von der Position des Schwimmers ist. Deshalb ist dieselbe Aufgabe mit einem kreisförmigen See imho viel einfacher, da ist immer klar, welches der direkte Weg zum Ufer ist.
[ Nachricht wurde editiert von Realshaggy am 21.03.2008 12:54:47 ]



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trunx
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2008-03-21


Hallo an alle,

die optimale Lösung ist im unteren Bild skizziert:
Bild

grr, jetzt hab ich auf submit gedrückt, Moment :-)

bye trunx

[ Nachricht wurde editiert von trunx am 21.03.2008 13:26:45 ]



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sastra
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2008-03-21


Hmmm....

Wenn ich mich nicht verrechnet habe, gibt es eine
Strategie für N = 5

Muss mir das mal aber heute Abend genauer anschauen...

Vielleicht ist es auch totaler Quatsch :-)


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]



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Morris
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2008-03-21


Hallo Leute,
@trunx
Meine Intuition sagt mir, daß sich Deine Strategie verbessern läßt, indem der Schwimmer eine Kurve schwimmt, die schon früher von der Diagonalen abweicht. Wenn die Abweichung klein genug ist, ist es für den Läufer nicht von Vorteil umzukehren, denn der Schwimmer könnte wieder auf die Diagonale zurückkehren, bevor der Läufer wieder Punkt A erreicht.

Gruß Morris



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freeclimb
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2008-03-21


Hi!

Ohne jetzt einen großen Plan zu haben würde ich intuitiv auf eine Spiral-förmige Bahn (oder etwas in der Art) tippen. Zumindest Teile des Weges werden sich so verhalten.
Ich hab von diesen Dingen aber viel zu wenig Ahnung, um etwas wirklich produktives beizutragen.  frown



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trunx
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2008-03-21


Also hier die Rechnung:

Da der Schwimmer die rechte untere Ecke anpeilt, ist es für den Läufer zunächst einmal die beste Strategie, ebenfalls zu dieser zu laufen. Ob er dies nun rechts oder links herum tut, ist ohne Belang, gewählt wurde rechts herum.

Sei n nun wie in der Aufgabenstellung das Geschwindigkeitsverhältnis der beiden - dann legt der Läufer die Strecke n*x zurück, wenn der Schwimmer die Strecke x zurückgelegt hat. Am Punkt D tritt nun die Situation ein, dass der Schwimmer dem rettenden Rand im Punkt E näher ist als in der Ausgangssituation und trotzdem der Läufer zwei Kantenlängen laufen muss (sich also dessen Situation nicht verbesserte). Also macht der Schwimmer einen Knick. Der Läufer wird dies wohl vorhersehen, kann aber nichts dagegen machen, läuft er links herum, macht der Schwimmer halt seinen Knick nach rechts.

Damit bekommen wir:
fed-Code einblenden
Warum ist dies nun die beste Strategie? Zu überlegen wäre, ob der Schwimmer nicht direkt den Punkt C ansteuert. Dann dann aber der Läufer auch den kürzesten Weg nehmen wird, wäre dies die Strategie, den Wert von
fed-Code einblenden
Die Frage ist nun, ob eine andere Strategie zu einem noch besseren Ergebnis führen könnte. Z.B. könnte man sich vorstellen, dass der Schwimmer nicht die gesamte Strecke a schwimmt, sondern ab einem bestimmten Punkt eine Kurve macht in Richtung E, die aber so gelegt sein muss, dass dem Läufer stets die Umkehr teurer kommt, er also weiterlaufen muss. Auch da wird er einen Punkt erreichen, von dem aus der Schwimmer abbiegt und gerade runter weiterschwimmt.

bye trunx



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.10 begonnen.]



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trunx
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2008-03-21


@morris: ja das ist mir auch aufgefallen, nochmal nachdenken...

bye trunx



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matph
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2008-03-21


Hallo,

Lediglich einige Gedanken:

Ich denke der Schwimmer muss für die optimale Strategie zu jedem Zeitpunkt genau soviel von der Diagonalen abweichen, dass der Fänger genau die gleiche Chance hat, diesen zu Fangen, in dem dieser seinen Weg fortsetzt, oder umkehrt, denn in jedem anderen Fall wird der Weg nicht Optimal.
Solange der Fänger länger für eine Umrundung des Beckens benötigt, als der Schwimmer für einen Kreis um den Mittelpunkt, kann dieser daher im Grunde getrost eine Spirale schwimmen, und seine Position dabei ständig verbessern.

--
mfg
matph


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.12 begonnen.]
[ Nachricht wurde editiert von matph am 21.03.2008 15:27:19 ]



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Morris
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2008-03-21


Am Anfang ist es für den Läufer egal, in welche Richtung er startet. Der Schwimmer muß, tangential zur Diagonale gestartet, seine Richtung immer (zumindest so lange das geht) gerade so ändern, daß es für den Läufer egal bleibt, ob er umkehrt oder nicht. Das müssen wir irgendwie quantitativ zu fassen kriegen.

Gruß Morris


EDIT: Morris reicht matph die Hand wink .

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.14 begonnen.]
[ Nachricht wurde editiert von Morris am 21.03.2008 14:31:57 ]



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Wauzi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2008-03-21


Umkehren bringt für den Fänger keinen Vorteil, denn dann kehrt der Schwimmer auch um und wir sind wieder am Anfang.
Gruß Wauzi



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trunx
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2008-03-21


Die Tangente an der Schwimmerkurve schneidet immer den Punkt, an dem sich der Läufer befindet.

[ Nachricht wurde editiert von trunx am 21.03.2008 14:38:06 ]



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krischi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2008-03-21


Warum?



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Morris
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, eingetragen 2008-03-21


@Wauzi
Hm, interessanter Einwand. Aber den Schwimmer zum Umkehren zu zwingen ist ein Erfolg des Läufers, denn der Schwimmer braucht eine Gewinnstrategie. Bildlich gesprochen säuft der Schwimmer irgendwann ab, während der Läufer sich einfach hinsetzt ;-) .

Der Schwimmer braucht also eine Strategie, die er auch bei Umkehr des Läufers fortsetzen kann. Rückkehr zur Startsituation ist für ihn keine Option.

@trunx
Klingt spontan zu einfach für mich, zumindest bei dem eckigen Schwimmbecken. Kannst Du den Vorschlag untermauern?

Gruß Morris



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.18 begonnen.]



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KingGeorge
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, eingetragen 2008-03-21


2008-03-21 14:37 - trunx schreibt:
Die Tangente an der Schwimmerkurve schneidet immer den Punkt, an dem sich der Läufer befindet.

[ Nachricht wurde editiert von trunx am 21.03.2008 14:38:06 ]

@trunx,

die Idee kam mir auch. Ist das nicht eine Maximierung des Läuferweges? Das würde auf eine Spirale rauslaufen?

Aber wie kann man das math. erfassen?

lg
Georg





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cow_gone_mad
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, eingetragen 2008-03-21


2008-03-21 13:25 - sastra schreibt:
Wenn ich mich nicht verrechnet habe, gibt es eine
Strategie für N = 5
Ich denke, dass es auch N > 5.09 Strategien gibt. Mein Problem ist aber, dasss mir das Problem N < ? suspekt ist... wink Kurz die Skizze fuer n < N = 5. Angenommen der Laeufer ist in der SW Ecke. Dann schwimmt man nach O. Wenn der Laeufer N W S rennen wollte, ist man fertig. Wenn der Laeufer nach O rennt, gibt es einen Bereich, so dass der Schwimmer durch schwimmen nach N erreichen kann, dass der Laeufer jetzt W N W laufen muss. Man waehle (!) einen solchen Punkt, und schwimme nach N, mindestens so lange, dass der Laeufer die SW Ecke passiert. Dann gibt es irgendwann wieder einen Bereich, so dass der Schwimmer durch schwimmen nach O erreicht, dass der Laeufer wieder nach S schwimmen muss, um ihn zu fangen, usw...

Gut. Nachteil ist, dass der Schwimmer Ecken schwimmt, und vermutlich Kurven guenstiger sind. Meine N = 5.09 Strategie hatte nur nicht rechte Winkel ausgenutzt und war konzeptuell aehnlich.

Aber das Ganze ist noch mit Vorsicht zu geniessen.  wink

LG,
cow_




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trunx
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, eingetragen 2008-03-21


Dass der jeweilige Ort des Läufers auf der Tangente der Schwimmerkurve liegt ist gleichbedeutend mit der Schwimmer entfernt sich jeweils vom Läufer oder mit der Schwimmer maximiert die Läuferstrecke.

Die zugehörige DGL lautet im übrigen
fed-Code einblenden

bye trunx



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Morris
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.24, eingetragen 2008-03-21


Ich hatte bis zu cows Post die Möglichkeit gar nicht erkannt, den Läufer zur Umkehr zu zwingen. Jetzt sehe ich die folgende Strategie:
Der Schwimmer schwimmt los, für den Läufer gibt es eine klar kürzere Richtung, die er dann nimmt, oder er entscheidet sich zufällig für eine.

Der Schwimmer schwimmt jetzt so lange in seine Richtung (eine Kurve bietet hier vielleicht immer noch Verbesserungspotential), solange er noch die Möglichkeit hat, durch Änderung der Richtung den Läufer zur Umkehr zu zwingen. Im letzten Moment tut er das, und der Läufer kehrt um. Jetzt geht das ganze von vorne los.

Gruß Morris



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sastra
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.25, eingetragen 2008-03-21


Hi Leute

Ich schreibe mal, wie ich auf N = 5 komme
(sehr "plumpe" Strategie, ohne Diffgleichungen)

Ich nehme an, dass Schwimmbecken habe die Seitenlänge 2, der Schwimmer ist also eine Längeneinheit vom rettenden Rand entfernt.

Geschwindigkeit Schwimmer: 1
Geschwindigkeit Fänger:        n

Strategie:

Phase1:
Der Schwimmer schwimmt schnurgerade auf den Beckenrand zu, bis er
davon einen Abstand von d hat.


Phase2:
Jetzt schwimmt er immer auf einem "konzentrischen Quadrat" (immer im gleichen Umlaufssin)so lange, bis er auf einer Linie mit Mittelpunkt und Fänger liegt. (Dabei bleibt der Mindestabstand d zum Rand erhalten.

Phase3:
Der Schwimmer schwimmt die restliche Distanz d schnurgerade zum Beckenrand.


Bedingungen, dass das ganze "funktioniert":

Phase1: keine

Phase2: Die "Umlaufszeit" des Schwimmers muss kleiner sein, als die des Fängers. Daraus eralte ich die Ungleichung
fed-Code einblenden

Phase3: (hier stand Quatsch...)
Edit: natürlich sollte hier stehen: n*d < 4

eine sehr Einfache Rechnung ergibt dann N = 5


Vielleicht lässt sich das noch optimieren...

Gruss





[Die Antwort wurde nach Beitrag No.23 begonnen.]
[ Nachricht wurde editiert von sastra am 21.03.2008 18:10:02 ]



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Wauzi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.26, eingetragen 2008-03-21


Auf die DGl von trunx bin ich gestern abend auch gekommen. Was mich veranlaßt hat, die Aufgabe wörtlich zu nehmen, sie also aufzugeben.
Diese DGl hatte ich mit folgender Idee erhalten:
Ich setze einen Punkt P willkürlich als Zielpunkt des Schwimmers fest.
Dann errechne ich die Zeiten, die Schwimmer sowie Läufer von ihren jeweiligen Standorten dorthin brauchen. Optimal ist P, wenn das Verhältnis von Läuferzeit zu Schwimmerzeit maximal wird. Dies führt zur Ableitung über die Koordinate von P. In der Wurzel steckt die zurückgelegte Weglänge des Schwimmers, die zweite Ableitung ergab sich durch das Eliminmieren des Integrals, das durch die Weglänge hineingekommen ist.

Aber ich kann nicht glauben, daß das so kompliziert ist.
Gruß Wauzi



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Gockel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.27, eingetragen 2008-03-21


Es ist immerhin die 19-Punkte-Aufgabe, warum soll es da nicht komplizierter sein?



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trunx
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.28, eingetragen 2008-03-21


@sastra: Sehr effektiv!

@wauzi: Ich rücke allerdings langsam ab von dieser Idee, auch von der Forderung, dass der Läufer auf der Tangente an der Schwimmerkurve ist.

bye trunx



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cow_gone_mad
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.29, eingetragen 2008-03-21


2008-03-21 17:37 - Gockel schreibt:
Es ist immerhin die 19-Punkte-Aufgabe, warum soll es da nicht komplizierter sein?
Naja, es ist deutlich schwerer als die 17 und 15. biggrin

LG,
cow_




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trunx
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.30, eingetragen 2008-03-21


Die Lösungsidee von Sastra ließe sich vllt noch optimieren, wenn der Schwimmer in Phase 3 nicht senkrecht, sondern gekrümmt zum Rand schwimmt. Auch hier wäre es wieder so, dass der Schwimmer zunächst so abbiegt, dass der neue Auftreffpunkt wiederum in einer Entfernung von 4 zum Läufer ist.

bye trunx



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HansHaas
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Hi,

Die Richtung des Läufers entscheidet sich doch darin, auf welcher Seite einer Verbindungslinie Läufer-Quadratmittelpunkt sich der Schwimmer befindet. Da sich diese Linie nicht mit konstanter Geschwindigkeit dreht, wird der Schwimmer nicht immer drauf bleiben können (was zu dem Morries-Mathph-Vorschlag äuquvalent wäre) aber man könnte ja versuchen, die Bewegung der Gerade irgendiwe zu mitteln und eine neue Gerade zu bekommen, auf der der Schwimmer schwimmen sollte...
Allerdings führt dies dazu, dass der Läufer die Richtung wechselt, was die ursprügliche Gerade wieder draus bringt.
Aber man könnte auf jeden Fall versuchen, anstatt des Läufers diese Gerade zu betrachten.

Gruß,
Hans



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trunx
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Die Lösungsidee von Sastra funktioniert so leider nicht - Phase 2 ist nicht die optimale Strategie für den Läufer. Der Grund ist, dass das konzentrische Quadrat zwar überall den gleichen Abstand d vom Rand hat, aber die größte Strecke zu der der Läufer gezwungen werden kann, ist nicht 4, sondern 4-d. Dies ist der Fall für die Eckpositionen. Hierfür ist dann
fed-Code einblenden

Dennoch ist natürlich diese Position wesentlich günstiger als die Ausgangsposition, d.h. mit meiner Strategie käme man dann weiter auf
fed-Code einblenden

Wenn man dies nun noch weiter durch eine Kurve verbessert...

bye trunx



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.30 begonnen.]



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Realshaggy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.33, eingetragen 2008-03-21


Ich finde die Idee von Sastra fehlerhaft. Es ist die übertragene Idee derselben Aufgabe mit einem kreisrunden Teich, wo man sich auch auf einem konzentrischen Kreis die richtige Position sucht. Allerdings ergeben sich hier zusätzliche Probleme: Der Fänger muß sich nicht auf den Mittelpunkt einer Beckenseite zwingen lassen, er kann auch in einer Ecke stehenbleiben. Wenn der Schwimmer dann versucht, von dem Mittelpunkt einer Seite eines konzentrischen Quadrates gerade zum Rand zu schwimmen, braucht der Läufer nur 1,5 Beckenlängen zurücklegen statt der 2 die Sastra annimmt, was die maximale Größe für N, bei der diese Taktik noch funktioniert reduziert auf N=4.

Dem ganzen ist irgendwie schwer beizukommen, da ja beide kontinuierlich und gleichzeitig ziehen.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.31 begonnen.]
[ Nachricht wurde editiert von Realshaggy am 21.03.2008 20:04:38 ]



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.34, eingetragen 2008-03-21


Ich finde, daß der Gedanke von mathp elegant ist, und noch nicht genügend diskutiert wurde:

2008-03-21 14:22 - matph schreibt:
Ich denke der Schwimmer muss für die optimale Strategie zu jedem Zeitpunkt genau soviel von der Diagonalen abweichen, dass der Fänger genau die gleiche Chance hat, diesen zu Fangen, in dem dieser seinen Weg fortsetzt, oder umkehrt, denn in jedem anderen Fall wird der Weg nicht Optimal.

Das Problem der bisherigen Strategien war ja, ihre Optimalität zu beweisen.
Mit dem Ansatz von mathp könnte man eine Strategie für den Schwimmer entwickeln, die, in Abhängigkeit von der Position der beiden, eine Schwimmrichtung vorgibt. Diese Strategie scheint mir erzwungenermaßen optimal zu sein. Ich muß nur noch überlegen, warum.

Viele Grüße,

Jonathan



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.32 begonnen.]



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HansHaas
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.35, eingetragen 2008-03-21


hi Jonathan,

und ich bleibe dabei, dass dies nicht möglich ist, wegen der Form des Schwimmbeckens. s. Post darüber.

Gruß,
Hans



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sastra
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@Realshaggy: Du hast natürlich Recht, falls sich die beiden nach Phase 2 nicht in der Mitte der Seiten gegenüberstehen, gibts ein Problem.

Der Schwimmer müsste sich dann halt solange auf der Verbindungslinie
Mittelpunkt-Fänger zum Rand bewegen, bis sich der Fäger für eine Seite entscheidet...



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Morris
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2008-03-21 20:10 - Jonathan_Scholbach schreibt:
Ich finde, daß der Gedanke von mathp elegant ist, und noch nicht genügend diskutiert wurde:

2008-03-21 14:22 - matph schreibt:
Ich denke der Schwimmer muss für die optimale Strategie zu jedem Zeitpunkt genau soviel von der Diagonalen abweichen, dass der Fänger genau die gleiche Chance hat, diesen zu Fangen, in dem dieser seinen Weg fortsetzt, oder umkehrt, denn in jedem anderen Fall wird der Weg nicht Optimal.

Das Problem der bisherigen Strategien war ja, ihre Optimalität zu beweisen.
Mit dem Ansatz von mathp könnte man eine Strategie für den Schwimmer entwickeln, die, in Abhängigkeit von der Position der beiden, eine Schwimmrichtung vorgibt. Diese Strategie scheint mir erzwungenermaßen optimal zu sein. Ich muß nur noch überlegen, warum.

Das dachte ich auch lange Zeit. Aber die Idee beruht darauf, daß der Läufer losläuft und der Schwimmer versucht, bei weiter in diese Richtung laufendem Läufer gerade noch das Ufer zu erreichen. Unter dieser Prämisse bin ich auch immer noch der Meinung, daß das die optimale Lösung ist. Aber seit cows Beitrag denke ich, daß es noch besser ist, den Läufer mehrmals zur Umkehr zu zwingen.

Gruß Morris



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Realshaggy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.38, eingetragen 2008-03-21


Ich bin mir auch immer unsicherer, vor allem was die gleichzeitige Reaktion der beiden aufeinander angeht und wie man das Problem formal exakt beschreiben kann. Vor allem bereitet mir auch die Startkonstellation Bauchschmerzen, daß der Fänger in einem Eckpunkt des Schwimmbeckens ist, und der Schwimmer im Mittelpunkt.

Vielleicht wäre es günstig, zunächst eine optimale Strategie für den Fänger eindeutig zu formulieren. Vernünftig ist zum Beispiel: Er rennt mit der vollen Geschwindigkeit N zu dem Punkt des Beckenrandes, der dem Schwimmer am nächsten ist. Aber auch hier taucht wieder das Problem auf, was passieren soll, wenn dieser Punkt nicht eindeutig bestimmt ist, wie es zum Beispiel auch in der Startkonstellation der Fall ist. Der Schwimmer entscheidet sich für eine Richtung. Daraus folgert der Fänger für sich eine Bewegungsrichtung, was aber wiederum heißt, daß die günstigste Richtung für den Schwimmer sich um 180 Grad  ändert, was wiederum den Fänger zur Umkehr bewegt usw.. Und die alles passiert wohlgemerkt nicht hintereinander, sondern gleichzeitig(!). Da beißt sich irgendwie die Katze in den Schwanz, und das ist glaube ich auch ein Punkt, an dem wir die ganze Zeit festhängen.



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Fabi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.39, eingetragen 2008-03-21


Ich sehe hier nur Strategien für den Schwimmer, aber was ist mit dem Fänger? Wie hat dieser sich zu bewegen?
Er hat zu jedem Zeitpunkt die Wahl zwischen zwei Richtungen, wie trifft er die Entscheidung, in welche er besser gehen sollte?

Eine Idee: Man punktspiegele die Position des Fängers am Mittelpunkt des Beckens und verbinde die Position des Fängers mit diesem Punkt. Der Schwimmer befindet sich auf einer Seite dieser Linie, der Fänger läuft in diese Richtung. Ist der Schwimmer auf der Linie, so läuft der Fänger in die nächstgelegene Ecke; steht er in einer Ecke oder genau auf einem der Mittelpunkte, ist aus Symmetriegründen egal, wohin er rennt.

Für mich hört sich das nach der besten Strategie für den Fänger an, aber wie beweist man sowas?



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.37 begonnen.]



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