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Matroids Matheplanet Forum Index » 7. Matheplanet Challenge » Aufgabe 10
Thema eröffnet 2008-03-19 10:31 von Kay_S

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Kein bestimmter Bereich J Aufgabe 10
Wauzi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.120, eingetragen 2008-03-25


Hallo trunx,
der Schwimmer schwimmt auf y=x solange bis der Läufer losläuft. Damit kennt der Schwimmer die Richtung des Läufers und knickt auf die entsprechende andere Seite ab, in meinem Beispiel mit fast 450nach rechts unten. Kehrt der Läufer um zurück zu seiner Ausgangsposition, kehrt auch der Schwimmer um Richtung y=x Achse.
Wäre der Winkel genau 450 gewesen, müßte der Schwimmer zum 0-Punkt, so aber kann er leicht abweichen und kommt auf der y-x-Achse an, allerdings leicht nach (1|1) verschoben. (Wie sehr hängt davon ab, wie nahe vorher die Schwimmrichtung am 450 Winkel war.
Fraglich ist nur, ab diese Position für den Schwimmer besser ist.)
Gruß Wauzi



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rocolo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.121, eingetragen 2008-03-25


Die Varianten 5 und 7 sowie 6 und 8 entfallen ebenfalls, da beides Optima sind, wenn der Läufer aus der gleichen Richtung kommt (dies ist auch die Begründung für 6 und 7).
Demnach gibt es noch die 5 und 8 und je nach b noch 5 und 6 und 7 und 8.
Das Problem mit der Unstetigkeit der optimalen Position des Läufers tritt zum Glück nicht auf, da bei dem Übergang eine Strecke identisch ist, die Schwimmergeschwindigkeiten gleich sind und damit auch die Entfernung zum Läufer gleich sein muss, damit Läufer und Schwimmer gleichzeitig an dem Ort sind.

Als Nachtrag noch die Formel für 5 und 8:
fed-Code einblenden
Das z wird durch die Gleichheit bestimmt und dann erhält man eine Kurve für jedes n.
EDIT (Bild):
Bild
z,x und y geben die Abstände an. Wenn z negativ ist, so ist der Anfangspunkt auf der oberen Seite des Quadrats.
Es ist ein Beispielweg eingezeichnet.

Zuletzt benötigen wir noch 1 und 8 bzw. 4 und 5. Dieser Fall tritt hoffentlich nicht ein, jedoch zur Überprüfung:
fed-Code einblenden

Es wäre gut wenn jemand diese Kurven in Abhängigkeit von n bestimmen könnte und diese mit der Formel von 5 und 6 und 7 und 8 (b=min(x,y)) vergleichen könnte, d.h. die Schnittpunkte zu bestimmen.
Da es auf Gleichungen mindestens 3.Grades führen kann, wäre es gut wenn jemand dies mit irgendeinem Programm machen könnte.

Wenn wir die Endkurve in Abhängigkeit von n haben, kann man dann wie beschrieben N bestimmen.

Grüße,
rocolo

Edit2: Ich bin inzwischen ziemlich sicher, dass ein Nachrechnen bei 1 und 8 bzw. 4 und 5 nicht notwendig ist.
Demnach müsste die beschriebene Lösung die beste Lösung sein und wartet nun nur noch auf seine Berechnung. Es wäre gut, wenn dies jemand von euch machen könnte, da ich kein solches Berechnungsprogramm auf diesem Computer habe...
Hoffentlich haben sich keine Fehler eingeschlichen. :)
[ Nachricht wurde editiert von rocolo am 25.03.2008 22:50:39 ]
[ Nachricht wurde editiert von fed am 26.03.2008 15:12:56 ]



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Wauzi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.122, eingetragen 2008-03-25


So, ich habe jetzt mal versucht meine Idee als Graphik hochzuladen, kämpfe aber noch immer mit meiner Technik.
Zuerst der Anfang. Der Schwimmer reagiert auf Umkehren des Läufers.
Bild">
Kehrt der Läufer nicht um, hat der Schwimmer diesen Weg vor. Dabei sind die einzelnen Stücke zu optimieren.
Ob das was bringt, ist mir auch noch unklar.
Der Punkt S wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem der Läufer in P ist. P wiederum ist 4 LE von Z in jeder Richtung entfernt.
Den Versatz von Z nach links bzgl S habe ich in früherem post mit r bezeichnet.
Bild

Gruß Wauzi



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humml
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.123, eingetragen 2008-03-26


Hallo Ihr!

Sehr tolle Aufgabe! Finde es lustig wie sich die Lösungshistorien ähneln... hier sieht man auch wunderbar wie man Matheaufgaben löst finde ich - nämlich im Wechsel von Team- und Alleinarbeit.

Zur Aufgabe:
Ich bin auch der Meinung das Innenquadrat ist sehr Wertvoll - klar ist es das!
Ich verstehe nur nicht wie ihr den Läufer in die Ecke bekommt... Der Mittelpunkt einer Seite ist doch viel Attraktiver für den Läufer. Wenn sich der Läufer in der Gegenüberliegende Ecke befindet passiert doch sicherlich das:
(vorab: das ist ein Bsp für n=5, Läufer auf D, Schwimmer auf b)

fed-Code einblenden

oder? (Der Kreis hat gerade Radius 1 - also genau die Reichweite des Schwimmers) Und damit hat der Schwimmer Raum gewonnen... Das kann der Schwimmer denke ich nicht machen wenn er in der Mitte gegenüber steht... Also der Läufer sieht obige Gefahr und stellt sich in die Mitte - damit ist er auch näher an der Attraktivsten Schwimmerposition - einer Ecke. Oder wie zwingt der Schwimmer den Läufer in die Ecke???

Mhmm mir kommt da gerade so, dass wenn das stimmt was ich da geschrieben habe, jedes n<6 zum Erfolg für den Schwimmer führen würde...??? Oder es ist einfach schon zu spät *kopf kratz*
Wenn beide auf den Seitenmitten (gegenüberliegend) ihrer Quadrate stünden bräuchte der Schwimmer 1/2-1/n (tempo 1) und der Läufer 2/n (tempo n)... was für jedes n<6 zur Flucht des Schwimmers führen würde.  
Mhmm mittlerweile kommt es mir fast so vor als wäre es egal von welchen Punkten aus die Kontrahenten in die nächste Phase starten - hauptsache sie sind gegenüber?!?

Grüße humml

[ Nachricht wurde editiert von humml am 26.03.2008 10:23:33 ]



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Animus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.124, eingetragen 2008-03-26


Hallo!

Ich versuche auch, meine Ideen in Bildern hochzuladen.

Für meinen errechneten Wert N=5.788... ergibt sich Folgendes:
Befindet sich der Läufer in der Mitte der nördlichen Strecke, so beginnt der Schwimmer zum Fußpunkt F des eingezeichneten spitzen Winkels zu schwimmen. Dieser Winkel kennzeichnet den von der Position des Läufers abhängigen Bereich, in dem der Schwimmer mit Sicherheit an die westliche Seite gelangen kann, wenn der Läufer im Uhrzeigersinn (also den "langen Weg") läuft, und gleichzeitig mit Sicherheit zur östlichen Seite schwimmen kann, wenn der Läufer gegen den Uhrzeigersinn läuft. So kann der Läufer nach entsprechender Strecke jeweils zum Umkehren oder zumindest zum Stehenbleiben gezwungen werden.
Bild
Bleibt der Läufer dagegen in der Seitenmitte stehen, so erreicht der Schwimmer den Fußpunkt auf dem 2. inneren Quadrat. Mit Erreichen des Bereiches des unteren stumpfen Winkels kann der Schwimmer nun mit Sicherheit die untere Seite erreichen.
N wurde nun so berechnet, dass beide Bereiche am Fußpunkt F zusammentreffen, weshalb der Schwimmer gewinnt, wenn der Läufer bis zum Erreichen des Punktes F in der Mitte bleibt.

Läuft der Läufer zur Seite (im 2. Bild nach Osten) so verschieben sich beide gekennzeichneten Bereiche entlang der unteren Seite des 2. inneren Quadrates, allerdings mit verschiedener Geschwindigkeit:
Bild
Während sich der Fußpunkt F2 des unteren Bereiches mit der Geschwindigkeit des Läufers verschiebt, verschiebt sich der Fußpunkt F des oberen Bereiches nur mit 1/sqrt(N^2-1) , also dezent schneller als der Schwimmer. Wir nehmen erst mal an, dass der Schwimmer es schafft in dem oberen Bereich zu bleiben und sich (durch den Zwang des Läufers, umzukehren oder gelegendlich stehen zu bleiben) sogar zum Punkt F bewegen kann.
Da sich die beiden Bereiche aber nicht mehr überlappen, kann er aber nicht mehr mit Sicherheit zur unteren Seite schwimmen.

Zeichnung 3 zeigt aber, dass es sich nur um ein scheinbares Problem handelt:
Bild
Nun ist - bei genau gleicher Position von Schwimmer und Läufer - der Bereich gekennzeichnet, in dem der Schwimmer mit Sicherheit entweder bei "langen Weg" des Läufers nach Westen oder aber nach Süden schwimmen kann, ohne auf beiden Wegen abgefangen werden zu können, sprich er hat die Ecke sicher. Daher meine ich, für N=5,788... die Stragegie gefunden zu haben.

Die letzte Schwachstelle ist die Tatsache, dass sich der obere spitzwinkelige Bereich etwas scheller bewegen kann als der Schwimmer, wodurch er bei Näherkommen einer Seite gezwungen ist, leicht schräg nach oben zu schwimmen. Ich bin allerdings sicher, dass er dies beim nächsten Umkehren des Läufers jeweils mehr als kompensieren kann, wodurch er schlielich in den sicherer Bereich (Ecke oder untere Seite) gelangt.

Liebe Grüße


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.122 begonnen.]



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Animus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.125, eingetragen 2008-03-26


Nachtrag:
Meine Strategie ist also folgende.
1) Opposition auf dem inneren Quadrat erzielen. Ist der Läufer zu diesem Zeitpunkt in einer Ecke, hat der Schwimmer schon gewonnen (Da dann N=5,9... genügt. Ansonsten kommt
2) Aus der Position des Läufers ergibt sich der Bereich A(spitzer Winkel) mit Fußpunkt F. Wegen der Oposition befinde ich mich in diesem Bereich A. Nun schwimme ich auf F zu ,wobei ich allerdings prioritär in A bleiben muss. Dadurch komme ich immer näher an das 2. innere Quadrat heran. Dadurch komme ich zwagsläufig  entweder in den Bereich "Ecke sicher" oder Seite sicher".
3) In Abhängigkeit von der Laufrichtung gerade aufs Ziel zu.

Animus



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rocolo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.126, eingetragen 2008-03-26


Hallo,
an ALLE:
Wie wollt ihr beweisen, dass eure Strategie die beste Strategie ist?

Meiner Meinung nach findet ihr zwar gute Näherungen, jedoch sollten wir vorrangig an einer optimalen Lösung interessiert sein.
Ich denke, dass ich eine solche Strategie gefunden habe und diese habe ich in meinen vorherigen Nachrichten beschrieben und man müsste nun nur noch den Wert ausrechnen, welches jedoch nur mit einem Programm (wie mathematica...) möglich sein wird und ich dieses nicht besitze und mir wohl nicht so schnell aneignen werde.

Ich stelle noch einmal kurz die Grundstrategie dar:
Das Ziel ist es einen Bereich A zu finden, welcher folgende Eigenschaften erfüllt:
-Auf dem Rand von A ist man von der Winkelgeschwindigkeit her genauso schnell wie der Läufer.
-Von jedem Punkt auf dem Rand von A führt die günstigste Verbindung zum Beckenrand bei der ungünstigsten Position des Läufers dazu, dass Schwimmer und Läufer sich genau am Beckenrand treffen.

Wenn also ein solcher Bereich A existieren sollte, so sind meine Gründe, dass dies dann optimal sein muss:
-Der Schwimmer kann auf A immer die Opposition erreichen.
-Außerhalb von A ist es unsinnig den Läufer zur Richtungsänderung zu zwingen, da er sich dadurch zwangsweise in eine ungünstigere Lage bringt.
(Der Schwimmer wählt sich 2 Taktiken, je eine für die Richtung des Läufers. Wenn der Läufer die Richtung ändert, so wechselt er auf den anderen Weg. Nach der Dreiecksungleichung bleibt er immer im Vorteil zum Läufer. Deswegen ist es egal welchen Weg der Läufer am Anfang wählt, für ihn ist es immer besser auf dem Weg zu bleiben. Wenn der Schwimmer jetzt nicht die Bewegung zum Rand nehmen würde die für ihn bei dieser Läuferrichtung optimal ist, würde der Läufer ihn irgendwann jedenfalls rechtzeitig einholen und diese Lage ist auf jeden Fall schlechter)

Die Beschreibung von meinem A könnt ihr in den vorherigen Nachrichten nachlesen. Wenn ein solches A existiert, sollte es nach meiner obigen Begründung jedenfalls das Optimum sein.

In der Hoffnung mich nicht zu irren...
rocolo
 
[ Nachricht wurde editiert von rocolo am 26.03.2008 12:04:23 ]



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Realshaggy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.127, eingetragen 2008-03-26


Die einzige zusammenhängende (!) Linie, die überall die Eigenschaft mit der Winkelgeschwindigkeit hat, ist aber nun mal das Quadrat von dem wir die ganze Zeit ausgegangen sind. Es gibt zwar von einzelnen Punkten aus noch Kurvenstücke, auf denen du eine Weile auf der Geraden durch Läufer und Mittelpunkt bleiben kannst (zum Beispiel eine Lösung der Differentialgleichung ein paar Seiten früher), aber die enden alle irgendwo, und was machst du dann?

Imho gilt: Sei K eine geschlossene Kurve mit Umfang 4/N, in deren Innerem sich der Mittelpunkt des Schwimmbeckens befindet. Dann kann der Schwimmer erzwingen, daß er auf einen Punkt auf dem Rand von G kommt, so daß Läufer, Mittelpunkt und Schwimmer auf einer Geraden liegen. Er kann nämlich einfach epsilon nach innen gehen und solange im Kreis schwimmen bis er dem Läufer gegenüber ist. Aber wo konkret diese Gerade langläuft, ist eben dem Läufer überlassen.



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rocolo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.128, eingetragen 2008-03-26


Die einzige zusammenhängende (!) Linie, die überall die Eigenschaft mit der Winkelgeschwindigkeit hat,
ist aber nun mal das Quadrat von dem wir die ganze Zeit ausgegangen sind.

Dies ist meiner Meinung nach nicht unbedingt richtig.
Man kommt zwar zu diesem Ergebnis, wenn man die optimalen Wege zu nur einer Seite betrachtet, jedoch könnte der Schwimmer dem Läufer auch androhen, den Weg 5 oder 8 (siehe Skizze auf Seite 3 unten) zu gehen und damit hängt die Geschwindigkeit nicht nur davon ab, wie weit er von einer Wand entfernt ist, sondern auch die Entfernung von einer anderen Wand ist entscheident.
Deswegen muss nicht das Quadrat die beste Möglichkeit sein.

Zu dem Auswählen noch eine kurze Beschreibung:
Am Anfang wählt sich der Schwimmer zwei der 8 eingezeichneten Wege aus, welche je nach der Richtung aus welcher der Läufer kommt und je nach Wand wohin der Schwimmer schwimmt optimal sind.
Von diesen Möglichkeiten wird dazu der ungünstigste Punkt gewählt, den der Läufer am Anfang haben kann und dieser muss sich auch am Anfang eine der beiden gleichwertigen Richtungen auswählen, da sonst der Schwimmer durch Bewegungen um Epsilon bessere Situationen erreicht und damit eine Umkehr für den Läufer sinnlos ist.
Von diesen Kombinationen der optimalen Verbindungen wird wieder das Optimum gewählt.
Damit erhält man von jedem Punkt vom Rand von A die optimale Strategie zum Beckenrand.
Und dies ist nur ein Quadrat wenn man den Fall "5 und 8" vernachlässigt.
[ Nachricht wurde editiert von rocolo am 26.03.2008 13:31:42 ]



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rocolo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.129, eingetragen 2008-03-26


Hallo,
dank der Hilfe von PhilippW konnte jetzt auch eine Rechnung erfolgreich durchgeführt werden:

Aus der oberen Gleichung von Seite 4, erhält man als Beschreibung für die optimale Kurve mit 5 und 8 (komplexe und unsinnige Lösungen ausgelassen; nur für den Bereich links unten):
fed-Code einblenden
Demnach ist es eine Gerade die logischerweise (Symmetrie) den Anstieg -1 besitzt. Demnach kommen nur noch das Quadrat mit parallelen Seiten zu dem großen Quadrat, das um 45° gedrehte Quadrat oder ein Achteck, welches durch die Überlagerung zweier solcher Quadrate entsteht (das innere Achteck), in Frage. Dazu benötige ich die Schnittpunkte.

Damit ergibt sich als Schnittpunkt mit dem Ergebnis von 5 und 6 bzw. 7 und 8 (y-Wert entsprechend anders):
fed-Code einblenden

Demnach erhalte ich als Abstand zwischen Schnittpunkt und Mittelpunkt das Quadrates mit parallelen Seiten:
fed-Code einblenden

Und als Abstand zwischen dem Schnittpunkt und der Gerade y=x:
fed-Code einblenden

Die Summe ist ein Achtel des gesamten Umfangs von dem Achteck.
Demnach ergibt sich durch gleichsetzen mit
fed-Code einblenden
ein Wert von 5,5942201953.
Das um 45° gedrehte Quadrat ergibt jedoch einen Wert von 5,6600930078.
Die Begündung ist, dass der Schnittpunkt bei einem Wert >0,5 liegt.
(Das normale Quadrat ergab 5,079833196.)

Damit sollte das gedrehte Quadrat die Lösung sein.
Anfechtbar sollte das Ergebnis nun nur noch an den Ecken des gedrehten Quadrates sein, da von dort aus noch andere Kombinationen möglich sind, welche eventuell bessere Strategien ergeben.
Ansonsten hoffe ich das die Theorie soweit stimmt...

Viele Grüße,
rocolo



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rocolo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.130, eingetragen 2008-03-26


Hallo,

leider gibt es in dieser Theorie das beschriebene Problem.
Die etwas abgewandelte Kombination "3 und 8" führt zu größeren n-Werten an den Ecken des gedrehten Quadrates. Die Abwandlung liegt darin, dass ich das Epsilon nicht genommen habe und den Schwimmer direkt zum Rand der gegenüberliegenden Seiten schwimmen lassen habe, da sonst der Schwimmer durch einen Bereich von A schwimmen müsste, um eine bessere Situation zu erreichen, wenn der Läufer umdreht...so wäre nur ein Patt möglich.
Jedoch spielt dies keine Rolle, da es ausreicht wenn ein Punkt zu einem besseren n führen kann.

Möglicherweise fragt man sich jetzt, warum kann man dies nicht so wie in die vorherigen Berechnungen einbauen, indem man sich die Kurve für die einzelnen n anschaut und diese nun einfügt.
Das Problem ist, dass nun nicht mehr unbedingt die Monotonie gegeben ist, welche notwendig ist um zu zeigen, dass zwischen zwei optimalen Wegen man bessere Positionen erreichen kann.
Im schlimmsten Fall führt dies dazu, dass kein A existiert wie wir es beschrieben haben.

Dies müsste man aber nun noch untersuchen.
Ich hoffe ihr habt mit euren Strategien mehr Erfolg...
Den einzigen Ansatz den ich sonst noch sehe, falls meine Strategie nutzlos wird, ist der, den Weg rückwärts zu berechnen, da man weiß in welchem Winkel das letzte gerade Stück auftrifft und mit entsprechendem Weg des Läufers könnte man so womöglich einen Bereich B erzeugen wo die Geraden beginnen, der jedoch zunächst nicht unbedingt eine größere Winkelgeschwindigkeit haben muss?!

Viele Grüße,
rocolo



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Wauzi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.131, eingetragen 2008-03-26


Hallo,
eine grundsätzliche Bemerkung zum 1/n-Quadrat:
Vom Ansatz her ist dies sicher der richtige Weg. Schließlich kann, bei einer Kantenlänge < 1/n der Schwimmer immer in Opposition zum Läufer kommen. Damit ist das Problem auf drei Spezialfälle reduziert.
(Läufer am Eck, Läufer irgendwo längsseits, Läufer längseits, aber nahe einem Eck).
Offen bleibt der Einfluß der Anfangssituation. Sobald es einem der beiden gelingt, einen Zustand zu erreichen, der der 1/n-Situation entspricht, ist das Problem gelöst.
Aber es kann ja sein, daß durch Ausnutzen der Anfangssituation eine Konstellation entseht, die andere Lösungen bietet. Auf dies muß man sich hier konzentrieren.

Abgesehen davon glaube ich noch immer, daß meine oben vorgestellte Strategie zielführend ist.
Gruß Wauzi



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Animus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.132, eingetragen 2008-03-27



WIR WAREN ALLE MIT BLINDHEIT GESCHLAGEN!!

sastras ursprüglicher Wert von N=5,90143057 ... aus der Gleichung
N^4-2N^3-25^2+12N-2=0
ist die gesuchte obere Schranke.

Der Denkfehler bei uns allen war der Gedanke, dass dieser Wert nur bei Opposition auf der Diagonalen bei Erreichen des inneren Quadrates erzwungen werden kann. Dadurch spalteten sich die Meinungen in das Lager deren, die fälschlicheweise glaubten, man könne die Opposition erzwingen und das Lager der anderen, die richtigerweise sahen, dass diese Stellung nicht erzwingbar ist und dadurch fälschlicherweise von einem niedrigeren Grenzwert ausgingen.

Die richtige Strategie für den Schwimmer sieht so aus:
Bild

fed-Code einblenden

Liebe Grüße Animus



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Animus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.133, eingetragen 2008-03-27


Ergänzung zum oberen Posting:

Zur besseren Übersicht vergrößere ich einen Teil der Zeichnung:

Bild

Es gibt keine Vorannahmen, in welcher Stellung der Schwimmer die Opposition auf dem inneren Quadrat (von dem im obigen Ausschnitt nur der untere Seite abgebildet ist) erreichen muss. Der rosa gekennzeichnete Bereich ist der Bereich, in dem der Schwimmer ohne weitere Tricks zur Ecke links schwimmen kann.
Die Lage des Bereiches ist direkt von der Position des Läufers abhängig: Der Abstand des Läufers zur Mittellinie ist das N-fache des Abstandes der Spitze des Winkels zur Mittellinie. Damit bewegt sich die Spitze mit sqrt(2)/N der Geschwindigkeit des Läufers, kann also nicht auf direktem Wege eingeholt werden.
Mit der Schwimmgeschwindigkeit 1/n > 1/N kann der Schwimmer aber jederzeit direkt oberhalb der Winkelspitze bleiben und sich dabei dennoch langsam nach unten bewegen; so trifft er schließlich auf die Winkelspitze (oder ihr symmetrisches Gegenüber nach Überqueren der Seitenmitte durch den Läufer).

Ein amüsantes Detail dieser Lösung ist die Tatsache, dass hier auf eine Art eher der Schwimmer den Läufer abfängt als umgekehrt.

Ein noch höheres N kann ich mit derzeit nicht vorstellen, siehe Argumentation anderer Teilnehmer.

Grüße
Animus


[ Nachricht wurde editiert von Animus am 27.03.2008 22:08:09 ]



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humml
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.134, eingetragen 2008-03-28


Hallo Ihr!

Sastra hat mich schon entlarvt... Aufgrund von einem Rechenfehler war das hier unnüntz.

Grüße humml

[ Nachricht wurde editiert von humml am 28.03.2008 11:04:59 ]



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sastra
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.135, eingetragen 2008-03-28


Hi humml

ich habe nur den Anfang gelesen (hab leider nicht mehr Zeit!),
allerdings sehe ich schon bei der ersten Gleichung einen "Fehler":

Das innere Quadrat sollte Seitenlänge 1/N besitzen.
Daraus folgt, dass der Schwimmer die Zeit 1/2 - 1/(2N) benötigt,
um an den Beckenreand zu schwimmen...

Gruss, Sastra



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humml
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.136, eingetragen 2008-03-28


@sastra und animus:
Habt ihr die Gleichung
fed-Code einblenden
mal für N=5,9014 nach x aufgelöst?
Ich hab das gerade versucht und komme auf x=0,947278309. Kann das mal bitte jemand machen der rechnen kann?
Mir ist eingefallen das ich das ja mal einsetzen könnte :) Und es stimmt natürlich nicht...
Vielleicht schaff ichs ja den richtigen Wert auszurechnen...

Vielen Dank
humml
[ Nachricht wurde editiert von humml am 28.03.2008 15:51:02 ]



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sastra
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.137, eingetragen 2008-03-28


Hi!

Das CAS meines Taschenrechners erhält 0.071...

Gruss, Sastra



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rocolo
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Hallo,

könntet ihr bitte die Rechnung für alle erläutern. Die Lösungsidee ist zwar einleuchtend, jedoch würde es mich interessieren wie ihr das genau gerechnet habt. Gibt es einen weiteren Grund als das hohe n, dass es optimal ist? (ich hoffe ich nerve euch nicht zu sehr...:))

Viele Grüße,
rocolo

Und wenn mal jemand mit mathematica hier herein schaut, würde es mich interessieren, was bei folgenden Formeln für Lösungsgleichungen erscheinen:
fed-Code einblenden
Danke!



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Animus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.139, eingetragen 2008-03-28


Hallo Mitstreiter!

Morgen vormittag ist Abgabetermin. Ich will noch schnell meinen Rechenansatz aufzeigen, damit ihr meinen Vorschlag besser überprüfen könnt.

N wird nach meinem Ansatz erreicht, wenn der Schwimmer vom Eckpunkt des inneren Quadrates (in "Opposition") auf dem Weg in die Ecke gerade abgefangen werden kann. Dazu reicht es, wenn er auf dem langen Weg (d.h. der Läufer muss über die angepeilte Ecke hinweglaufen) gerade abgefangen werden kann.

fed-Code einblenden

Daraus ergibt sich N=5.90143057...

für weitere inhaltliche Fragen bin ich natürlich auch jederzeit offen.

Gruß
Animus

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.137 begonnen.]
[ Nachricht wurde editiert von Animus am 28.03.2008 18:55:22 ]



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rocolo
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Hallo Animus,

danke, dass du so schnell antworten konntest!
Die Rechnung ist bis zu der Gleichung 4.Grades richtig.
Da ich nicht alles ausklammern wollte, habe ich meinen GTR benutzt und die beiden Gleichungen mit dem d gleichgesetzt und auf eine Seite gebracht, sowie auf Nullstellen untersucht. Wenn mir dabei kein Eingabefehler unterlaufen ist, komme ich zwar mit deiner Gleichung 4.Grades auf die richtige Lösung, jedoch erhalte ich für die vorherige Form nur eine Nullstelle zwischen 4 und 5.
Kannst du die Gleichung bitte überprüfen?

Viele Grüße,
rocolo



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Animus
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Hallo rocolo

Ich hoffe die Zeichnung hilft rein bildlich weiter zu zeigen, weshalb ein noch größeres N unwahrscheinlich ist.

Bild

Hier sind für ein n > 6 die Bereiche eingezeichnet worden, in denen der Schwimmer mit sicherheit jeweils eine der Ecken erreicht, in Abhängigkeit für die eingezeichnete Position des Läufers.
Das innere Quadrat ist noch kleiner geworden, das schräge mittlere, das sich aus den 4 Geraden zusammensetzt, auf denen immer die Spitzen der rosa Bereiche liegen, ist dagegen größer geworden, d.h. die Spitzen bewegen sich jetzt mit einer Geschwindigkeit > sqrt(2)/N des Läufers. Daher kann der Schwimmer diese selbst bei günstiger Position im schrägen Quadrat nie einholen oder "einfangen".

Schwimmt der Schwimmer beispielsweise auf die Spitze AB zu, so läuft der Schwimmer im Uhrzeigersinn um das Becken herum, wodurch sich die Bereich schnell entlang der Geraden vom Schwimmer entfernen. Selbst die Spitze AG wird zu schnell auf AA zurutschen, um ereicht zu werden.
Allerdings wird der Läufer eine so günstige Position des Schwimmers wie in der Zeichnung erst gar nicht abwarten, sondern sofort das Becken umrunden, wenn der Schwimmer das kleine Quadrat verlässt.

Das ist zwar kein Beweis, macht die Sache aber hoffentlich anschaulicher.

Animus


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.139 begonnen.]



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Animus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.142, eingetragen 2008-03-28


@ Humml

Ich habe einen anderen Ansatz als Sastra verwendet, da der optimale Winkel immer gleich ist egal wie weit der Abstand ist; so erspare ich mir die zweite unbekannte x.
Erfreulichweise kommen wir aber numerisch zum gleichen Ergebnis für N.

Grüße Animus



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rocolo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.143, eingetragen 2008-03-28


Hallo Animus,

falls du den Beitrag 139 noch nicht gelesen hast, möchte ich dich darauf aufmerksam machen, dass bei deinen Formeln nach d umgestellt und N eingesetzt, unterschiedliche Werte rauskommen...
Kannst du es nochmal überprüfen?

fed-Code einblenden

Viele Grüße,
rocolo
[ Nachricht wurde editiert von rocolo am 28.03.2008 18:46:46 ]
[ Nachricht wurde editiert von fed am 28.03.2008 18:47:09 ]



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Animus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.144, eingetragen 2008-03-28


@ rocolo

Du hast recht, ich hatte 2d-1/n=1 statt 2d+1/n=1 geschrieben. Jetzt sollte es stimmen.

Gruß
Animus



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rocolo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.145, eingetragen 2008-03-28


Hallo Animus,

entschuldige bitte den etwas komischen Beitrag. Ein paar Minuten später war es mir auch klar, jedoch musste ich schnell weg und konnte deswegen es nicht korrigieren.
Jedoch muss ich leider sagen, dass ich eine Strategie angeben kann, welche dem Läufer dazu verhilft, dem Schwimmer zu entkommen.
Sie geht folgendermaßen:
Gehe in die Mitte der oberen Seite.
Warte bis der Schwimmer nah genug an dem unteren Punkt des Dreiecks ist und gehe dann an einer Seite nach oben.
Das Problem ist, dass der Läufer (bzw. besser seine Projektion auf die Dreiecksseite) schneller ist als der Schwimmer!

Dies lässt sich folgendermaßen berechnen:
Sei der Läufer in der Mitte der oberen Seite und bewege sich um ein Epsilon. Dann kann ich den Strahlensatz auf die Projektion anwenden. Der Abstand zum Mittelpunkt des großen Quadrates ist 1/2. Der Abstand vom Mittelpunkt des Quadrates zum unteren Punkt des Dreiecks ist 1/N. Demnach bewegt sich die Projektion mit N/2 auf einer Gerade die parallel zu der oberen Quadratseite ist und sich im Abstand von N zu dem Mittelpunkt des Quadrates befindet. Da die Projektion des Läufers sich jedoch nicht parallel sondern im Winkel von 45° bewegt ist es nur N/(sqrt(2)*2). Dies müsste nun langsamer sein als der Schwimmer, da dieser sonst dem Läufer nicht mal parallel folgen könnte...
2*sqrt(2) ist aber etwa 2,828<5,9 und damit ist der Läufer schneller.
Demnach kann der Schwimmer an dieser Stelle nicht einmal parallel schneller sein, was du in deiner Argumentation verwendest.

Edit: Meine Rechnung ist falsch:
Bei dem Strahlensatz muss es N/(1/2)=x/(1/N) also x=2 lauten und dann ist jedoch 2/sqrt(2)=sqrt(2) immernoch größer als 1.

Viele Grüße,
rocolo

(Ich hoffe du nimmst es mir nicht übel, wenn ich so viele Gegenargumente anbringe, jedoch ist es möglicherweise besser so, da wir dann vielleicht durch eine andere Lösung mehr Punkte bekommen...oder ich sollte es ganz weglassen^^)
[ Nachricht wurde editiert von rocolo am 28.03.2008 21:56:25 ]



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rocolo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.146, eingetragen 2008-03-28


Hallo, an alle:
Da wir nur noch bis morgen Zeit haben, wäre es gut wenn wir dies etwas beschleunigen könnten, da ich befürchte, dass Animus heute nicht mehr on sein wird.
Kann jemand anderes mir sagen, ob meine Argumentation richtig ist oder liege ich wieder falsch?
Hat jemand eventuell noch eine Idee die zum Ziel führen könnte?
Ansonsten bleibt uns nur noch die Möglichkeit die genannten Lösungen zu diskutieren und dann die beste zu wählen.
Möglicherweise habe ich auch noch eine Idee, welche vielleicht sogar zum Beweis der Optimalität führen könnte (oder zumindest eventuell einen besseren Wert liefert?!).
Dazu benötige ich jedoch Hilfe von jemandem, der eventuell Kritik üben kann, aber zumindest von jemandem der mathematica/Maple besitzt...
Wenn sich jemand heute oder morgen früh sich dazu bereit erklärt, sollte er es möglichst bald posten. Ich werde versuchen morgen so früh wie möglich on zu sein und evtl auch heute noch etwas daran arbeiten.

Viele Grüße,
rocolo



[ Nachricht wurde editiert von rocolo am 28.03.2008 22:55:33 ]



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Animus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.147, eingetragen 2008-03-28


Hallo Rocolo

Vielen Dank für Dein Engagement. Schließlich will ich nicht allein schuld sein, wenn ich es verbockt habe. wink

Deine Rechnung, dass der "Projektionspunkt", den der Schwimmer ansteuert, fast sqrt(2) der Geschwindigkeit des Schwimmers erreicht, ist richtig. (etwas weniger, da n < N).
Deswegen ist es so wichtig, immer genau über dem Projektionspunkt zu bleiben.
Somit versucht der Schwimmer nicht, die Läuferprojektion irgendwo einzuholen (weder parallel noch sonst wie), sondern abzufangen, wenn sich die Projektion nach oben bewegt. Wenn der Schwimmer dann genau wagerecht (also im 45° Winkel zur Richtung des Projektion schwimmt, fängt er ihn mit 1/sqrt(2) deren Geschwindigkeit genau ab.

Da der Schwimmer etwas schneller ist, kann er sogar jeweils leicht nach unten gerichtet die Projektion abfangen, wodurch der Schwimmer die Projektion in die untere Ecke des grünen Dreiecks drängt.
Überschreitet der Läufer die Seitenmitte tritt übrigens der kritische Punkt zum Erreichen der anderen Ecke an die Stelle der ersten Projektion, wodurch sich das grüne Dreieck erst ergibt.

Gruß
Animus



[ Nachricht wurde editiert von Animus am 29.03.2008 00:38:19 ]



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Animus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.148, eingetragen 2008-03-29


Vielleicht noch präziser formluliert, da das Wort Projektion falsche Assoziationen auslösen kann:

Ich bleibe mit dem Schwimmer immer auf dem Lot auf der Seite des inneren Dreiecks, das durch den Oppositionspunkt dieser Seite zur Position des Läufers geht. Da sich dieser Oppositionspunkt mit 1/N der Geschwindikeit des Läufers bewegt (Strahlensatz), kann mit 1/n >1/N immer auf diesem Lot bleiben und gleichzeitig weiter nach unten kommen.

Der durch die Position des Läufers festgelegte Spitze des Bereiches, in dem der Schwimmer sicher zur dem Läufer gegenübeerliegenden Ecke kommt, liegt, wie ebenfalls gut nachzurechnen ist, ebenfalls immer auf diesem Lot. Dadurch ereicht der Schwimmer diese Spitze (vzw. ihr Pendant zur anderen unteren Ecke) auf diese Weise zwangsläufig.

Animus



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Animus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.149, eingetragen 2008-03-29


WICHTIG!


@ alle

Ich fürchte rocolo hat doch recht. Die Geschwindigkeit des "Projektionspunktes" beträgt leider etwas mehr als sqrt(2)/N. Dann treffen sich die Spitzen auch nicht bei Erreichen der Seitenmitte.
NAch meinem Ermessen müsste dann meine alte Lösung 5.788 stimmen.

Muss leider dirgend eine halbe stunde. weg.

Bin dann wieder online!
Animus



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rocolo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.150, eingetragen 2008-03-29


Hallo Animus,

wenn ich in meiner verwendeten Schreibweise deine Lösung 5,788 interpretieren würde, so drohst du dem Läufer an, zunächst eine der Verbindungen 3 oder 8 zu nehmen je nachdem wohin der Läufer läuft.
Ursprünglich dachte ich, dass er den Läufer nicht zwingen kann die falsche Richtung zu nehmen, da der Winkel größer als 180° ist, doch inzwischen denke ich, dass es möglich sein sollte...
Jedoch befindet sich der Läufer bezüglich 3 und 8 in einer immer schlechteren Position. Dies machst du so lange bis er in den 5 und 6 -Bereich kommt.
Nach deiner Berechnung von n solltest du jedoch zum richtigen Wert gelangen...

In der letzten Situation drohst du ihm 5 und 8 an, wenn ich dich richtig verstehe...
Wie willst du die Aufgabe lösen, wenn der Läufer nicht auf dem Seitenmittelpunkt ist?

Viele Grüße,
rocolo



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Animus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.151, eingetragen 2008-03-29


Ich hatte beim Versuch, N weiter zu optimieren, eine Annahme aus meiner ersten Berechnung fälschlicherweise ungeprüft übernommen, und zwar die, dass sich die Spitzen der sicheren Eckbereiche bei Mittelstellung des Läufern auch in der Mitte treffen. Dies triftt aber nur für meinen ursprünglichen Wert N=5,788... zu, da dieser genau mit dieser Bedingung festgelegt wurde. Aus den resultierenden Größenverhältniseen des inneren und schrägen Quadrates geht auch hervor, dass die relative Geschwindigkeit des "Projektionspunktes < sqrt(2) ist, was ja - wie rocolo deutlich gemacht hat - eine weitere notwedige Bedingung ist.

Ich plädiere also als Lösung
fed-Code einblenden

Die erste Lösung ist bis auf die Größenverhaltnisse nd die Geschwindigkeiten der Spitzen auf dem schrägen Quadrat mit der letzten identisch,d.h. die Taktik ist für den schwimmer gleich, nur das grüne Dreieck ist entsprechend kleiner.

Tut mit leid, dass ich so spät noch veränderungen anrege, es ist halt wieder ein echter "Burischer HAmmer".

Animus


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.149 begonnen.]



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Animus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.152, eingetragen 2008-03-29


Hallo rocolo

Schön, dass du da bist!

Deine Interpretation der Eckenbeziehung ist richtig. In Seitenmitte erreicht die "Projektion" ebenfalls genau die Seitenmitte (was bei N=5,9 nicht gegeben war). Ist der Läufer am Eck befindet sich die Projektion ebenfalls auf der Diagonalen. Da die Seitenlänge des schrägen Quadrates nun < sqrt(2)/N ist. bewegt sich die "Projektion also langsamer als sqrt(2) der Geschwindigkeit des Läufers.
Daher kann ich jetzt berechtigt (siehe postings von gestern nacht) davon ausgehen, ihn abzufangen.


[ Nachricht wurde editiert von Animus am 29.03.2008 10:12:57 ]



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rocolo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.153, eingetragen 2008-03-29


Hallo,

kannst du bitte deine Rechnung wieder schicken?
Dadurch kann man dann meistens die Lösung besser überprüfen...

Viele Grüße,
rocolo



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Animus
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Die Rechnung ist in posting 64.



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Animus
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Die Zeit ist um

Sollen wir nun 5.78859... nehmen?
Ich wäre dafür

Animus



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fru
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.156, eingetragen 2008-03-29


Hi Animus!

Dafür ist es jetzt zu spät.
Es werden wohl die Ergebnisse von hier in die Wertung kommen.

Ich bin schon gespannt, ob wir alle Punkte eingefahren haben ...

Liebe Grüße, Franz



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rocolo
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Eine reichliche Stunde ist ja noch Zeit...^^ (um 12 war doch Abgabe, oder?)

Die einzigen Probleme, die ich bei deiner Lösung noch sehe, sind folgende:
-wie kriege ich den Läufer in die Mitte, bzw. kann ich dieses Problem lösen?
-wenn der Schwimmer sich nach unten bewegt und der Winkel ist größer als 180°, dann ist es für den Schwimmer doch ungünstiger und er würde wenn er sich mehr nach unten bewegen wöllte, dem Läufer immer mehr hinterher schwimmen...dies kann man lösen, wenn man den Winkel vorerst auf 180° setzt, jedoch wird die Rechnung dann komplizierter...

Edit: ja wir nehmen deine Lösung...ist ja doch 10:40 gewesen...

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.155 begonnen.]
[ Nachricht wurde editiert von rocolo am 29.03.2008 10:39:21 ]



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fru
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Ich dachte, um 10:31 sei Schluß gewesen, weil die letzte (zehnte) Aufgabe um diese Zeit veröffentlicht wurde.




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weserus
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Hallo Franz,

tjaa.....das ist die Frage?!

M.E. sind die Regeln nicht eindeutig, bzw. unklar definiert.

Es heisst in den Regeln unter Ziffer 1 : ".....als Start zählt die Uhrzeit der zuletzt geposteten Frage. Von diesem Zeitpunkt an läuft die Challenge genau 240 Stunden = 10 Tage."

Du hättest Recht, wenn '= 10 Tage' nicht hinzugesetzt wäre.
 
Der Tag zählt jedoch immer von 00:01 bis 24:00, gleich in welche
Stunde ein Ereignis fällt. Man könnte also eine Unklarheit annehmen,
die nicht zu Lasten des Teams gehen darf.

Es war ja auch nicht angekündigt, zu welcher Stunde die Aufgaben
veröffentlicht werden.

Die Regel über die Laufzeit ist unglücklich formuliert.

Gruß Peter



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