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  Aufgabe 10 |
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Buri
Senior 
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 |      Beitrag No.160, eingetragen 2008-03-29
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Aufgabe 10 - Problemanalyse
  
Mit einer Geschwindigkeit n>=N=sqrt((70+10*sqrt(41))/2)\approx\ 5.78859 hat der Läufer eine Gewinnstrategie. Wir setzen die Seitenlänge des Beckens gleich 2, legen den Nullpunkt eines x\-y\-Koordinatensystems in den Mittelpunkt und konstruieren ein konzentrisches, auf der Spitze stehendes Quadrat mit der Diagonalenlänge 4/(k+1)\., wobei die Zahl k=(5+sqrt(41))/2=sqrt(N^2-1)\approx\ 5.70156 eine viel wichtigere Rolle spielt als das Verhältnis N der Geschwindigkeiten, sie ist Lösung der Gleichung 4/k+2/(k+1)=1. Das Äußere dieses Quadrats wird durch Verbindung mit den Ecken des Beckens in acht Dreiecke zerlegt, die optimalen Stategien des Schwimmers in diesen Gebieten sind farbig dargestellt. Es sind geradlinige Wege mit den Anstiegen +-k und +-1/k\.. Das Dreieck QBC wird durch abs(x)<=((k+1)y-2)/(k-1)<=1 und das Dreieck PBQ durch 2/(k+1)<=x+y<=2-k abs(x-y) beschrieben. \geoon ebene(525,525)xy(-1.05,1.05)p(1,-1,A)p(1,1,B)p(-1,1,C)p(-1,-1,D) p(0.05,0.4,E)p(0.5,0.4,V)p(0.7,-0.3,E') p(-0.629,-1,E+)p(0.529,-1,E-)p(0.079,-1,V-)p(-1,0.749,V+) p(0,0.298,Q)p(0.298,0,P)p(-0.298,0,R)p(0,-0.298,S)nolabel() p(-0.055,1,e+)p(0.155,1,e-)p(0.395,1,v-)p(1,0.312,v+) p(1,-0.247,e'-)p(1,-0.353,e'+) s(P,Q)s(R,S)s(Q,R)s(S,P) c(b)s(E,e+)s(E,e-)c(r)s(V,v+)s(V,v-)c(magenta)s(E',e'+)s(E',e'-)c(bl)s(A,B)s(B,C)s(C,D)s(D,A) s(A,P)s(A,S)s(B,P)s(B,Q)s(C,Q)s(C,R)s(D,R)s(D,S) \geooff geoprint() Zu jeder Schwimmerposition außerhalb des inneren Quadrats gibt es ein Intervall auf dem Beckenrand, das für den Läufer Verlust bedeutet, wenn er sich darin aufhält. Die Endpunkte dieser Intervalle \(die sich auch über eine Ecke erstrecken können\) haben für einen Punkt E=(x,y) im Dreieck QBC und für einen Punkt V=(x,y) im Dreieck PBQ die Abstände E_\+=6-(1-x)-k(1-y), V_\+=-2+(1-x)+k(1-y), E_\-=V_\-=-2-(1-x)+k(1-y) vom rechten unteren Eckpunkt A. Für die anderen Dreiecke ergibt sich die Lage der Verlustintervalle aus der Symmetrie des Quadrats. Wenn der Schwimmer seine Position ändert, dann verschieben sich die Verlustintervalle auf dem Rand des Beckens und können sich dabei vergrößern oder verkleinern. Das Intervall hängt stetig von der Schwimmerposition ab, auch dann, wenn der Schwimmer in ein anderes der acht Dreiecke wechselt. Das liegt daran, daß die Trennlinien zwischen diesen Gebieten gerade so bestimmt wurden. Für Schwimmerpositionen auf dem Rand des inneren Quadrats ist die Länge des Verlustintervalls gleich 0, dies tritt genau für die angegebenen Werte der Zahlen N und k ein. Die Gewinnstrategie des Läufers lautet so: 1. Ist der Schwimmer im inneren Quadrat, ruhe dich aus. 2. Wenn er das innere Quadrat schneidet, bestimme das punktförmige Verlustintervall, das sich durch die Bewegung des Schwimmers vergrößert. Laufe von diesem Punkt weg und behalte die Laufrichtung bei, bis sich der Schwimmer dem Beckenrand nähert. Dann wird irgendwann das Verlustintervall so groß, daß es fast den ganzen Beckenrand ausfüllt, aber der Läufer kann immer so laufen, daß er das Verlustintervall nicht betritt. Das liegt daran, daß sich die Endpunkte des Verlustintervalls höchstens N\-mal so schnell bewegen können, wie der Schwimmer schwimmt, diese Grenzgeschwindigkeit wird nur bei den farbig dargestellten optimalen Schwimmerstrategien erreicht. Es bewegt sich immer nur\stress ein\normal Endpunkt mit dieser maximalen Geschwindigkeit, aber das genügt dem Schwimmer, um zu gewinnen, sobald der Läufer innehält und zuläßt, daß er sich im Verlustintervall befindet. 3. Wenn d der Abstand des Schwimmers vom Rand ist, dann gibt es symmetrisch zum nächsten Randpunkt ein Intervall der Länge 2 k d, das nicht zum Verlustintervall des Läufers gehört. In diesem Intervall muß der Läufer bleiben, was immer gelingt, und er verhindert somit die Flucht des Schwimmers. 4. Kehrt der Schwimmer um und schwimmt wieder auf das innere Quadrat zu, dann beginnt es wieder bei 2. oder, wenn der Schwimmer sogar ins innere Quadrat hineinschwimmt, bei 1.
Anmerkungen:
1. Wenn der Schwimmer sich auf dem Rand des inneren Quadrates befindet und der Läufer im zugehörigen Verlustpunkt (diesen Punkt erhält man, wenn man zum Beispiel einen Punkt X auf der Seite PQ auf die Verbindungsstrecke der Mitten von AD und CD projiziert und von dieser Strecke auf kürzestem Wege achsenparallel zum Rand projiziert.
Diese Kombination zweier Projektionen ist keine Zentralprojektion von der Mitte des Quadrats, und wenn sich der Schwimmer bewegt, dann bewegt sich der zugehörige Verlustpunkt nicht mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit. Hier liegt der Grund, warum Winkelgeschwindigkeiten bei einem quadratischen Becken nichts nützen, das hilft nur, wenn das Becken kreisförmig ist.
Ebenso ist es mit der Bedingung "Schwimmer, Mitte, Läufer auf einer Geraden", sie gilt für den Schwimmer auf dem Quadratrand und für den Verlustpunkt nicht und gibt somit die Verhältnisse nicht richtig wieder.
2. Es wurde versucht, die Strategie des Läufers von der Schwimmrichtung abhängig zu machen (analog die Schwimmerstrategie von der Laufrichtung). Das ist grundsätzlich falsch.
Betrachten wir die Situation Läufer (((Verlustintervall))),
also eine Position des Läufer links von Verlustintervall.
Der Schwimmer könnte nun (unklugerweise) so schwimmen, daß das Verlustintervall weiter nach rechts rückt. Wenn sich der Läufer an der Schwimmrichtung orientiert, würde er nach rechts laufen, also auf das Intervall zu, das sich gerade von ihm entfernt.
Zwar schadet ihm das nichts (solange es sich der Schwimmer nicht anders überlegt), aber seine Strategie muß sein, sich von dem Verlustintervall zu entfernen.
Mit anderen Worten, der Läufer muß die richtige Antwort auf das finden, was der Schwimmer am besten tun könnte, nicht was er wirklich tut. Ebenso ist es mit vertauschten Rollen: Nicht, wohin der Läufer läuft, ist für den Schwimmer wichtig, sondern nur, wo der Läufer gerade ist, und wohin er am besten laufen müßte.
3. Man kann zu jeder Schwimmerposition die Länge des Verlustintervalls berechnen und die Niveaulinien dieser Funktion betrachten. Es sind Achtecke, deren Eckpunkte auf den Strecken AP, BP, BQ, CQ, CR, DR, DS, AS liegen. Dies ist für beliebige Werte n < N möglich, wobei man k gleich der Wurzel aus n2 - 1 setzen muß.
Als nächstes werde ich eine Gewinnstrategie des Schwimmers beschreiben und damit eine untere Schranke von N angeben, es ist die aus dem Beitrag #129 von rocolo.
Gruß Buri
[ Nachricht wurde editiert von Buri am 17.04.2011 15:08:53 ]
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Buri
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| Beitrag No.161, eingetragen 2008-03-29
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Eine Strategie für den Schwimmer:
Aus der Gewinnstrategie des Läufers für n > 5.78859 läßt sich keine Gegenstrategie des Schwimmers ableiten. Um zu gewinnen, müßte in dem Moment, wo er das innere Quadrat mit der Seitenlänge (2*sqrt(2))/(sqrt(n^2-1)+1) endgültig verläßt, der Läufer genau auf der zugeordneten Verlustposition stehen. Der Läufer kann das stets verhindern, wenn er das Becken schneller umrunden kann als der Schwimmer das Quadrat, und das kann er, sogar für beliebiges n > sqrt(2). Es gibt also keine Gewinnstrategie des Schwimmers für n=5.78859, das heißt, der optimale Wert für N muß kleiner sein. Das folgt aus Stetigkeitsüberlegungen, deren ausführliche Begründung indessen sehr kompliziert ist, besser wäre es, eine Gewinnstrategie des Läufers für kleinere n, etwa n > 5.77 explizit anzugeben. Man ersetzt nun das innere Quadrat im vorigen Beitrag durch ein Quadrat, dessen Seitenlänge gleich 2 / N ist, wobei N = 5.66009... die größte Lösung der Gleichung 8N/(sqrt(N^2-1)-1)=2N-sqrt(2) ist.
Diese Zahl läßt sich mit Hilfe von Quadrat- und Kubikwurzeln ausdrücken, die Ausdrücke sind überaus umfangreich, und es kommen sehr große Zahlen darin vor.
Für n < N braucht der Läufer für eine Umrundung des Beckens länger als der Schwimmer für eine Runde auf dem Quadratumfang.
Jedem Punkt X auf den Seiten des inneren Quadrats entspricht ein Punkt L auf dem Quadratrand, welcher die für den Läufer ungünstigste Position ist. Beim Überschreiten der Ecken des inneren Quadrats ändert sich dieser Punkt unstetig. Wenn der Schwimmer zum Beispiel den Eckpunkt Q von rechts unten erreicht und links abbiegt, springt der Punkt L von einem Punkt U auf der linken Hälfte des unteren Beckenrandes zum symmetrischen Punkt V auf dem rechten Beckenrand.
Die Strategie des Schwimmers ist nun:
1. Schwimme entlang der Seiten des Quadrats, bis
a) der Läufer genau an dem zugeordneten Punkt L steht oder
b) bis der Läufer sich zwischen den Punkten U und V befindet, wenn der Schwimmer einen Eckpunkt, zum Beispiel Q, erreicht.
2. Wende im Fall a), Quadratseite PQ, die durch rote Strecken gezeichnete Fluchtstrategie an und schwimme stets so, daß der Läufer im Verlustintervall (das von der Schwimmerposition abhängt, nach den Formeln für V+ und V- aus dem vorigen Beitrag) verbleibt. Wenn der Läufer die Richtung ändert, muß der Schwimmer nicht sofort, aber irgendwann doch reagieren (wenn der Läufer die Mitte des augenblicklichen Verlustintervalls erreicht oder überschreitet), dann muß er Parallelen zu den rot gezeichneten Strecken schwimmen.
3. Schwimme im Fall b), Eckpunkt Q, nach oben, dabei wachsen die Punkte U und V zu zwei getrennten Verlustintervallen an, die sich irgendwann zu einem einzigen Intervall vereinigen. Der Läufer hat keine Möglichkeit zu entkommen.
Aus dieser Sicht haben sich die Rollen der Spieler vertauscht. Jetzt ist der Läufer der "Gejagte", und der Schwimmer ist der "Jäger".
Sobald der Läufer ein Verlustintervall betritt (dies kann geschehen, wenn sich die beiden Intervalle vereinigt haben, oder schon früher), dann beginne die rote Strategie anzuwenden, wenn sich der Läufer im linken Verlustintervall am unteren Beckenrand befindet, die anderen Fälle werden durch Anwendung der Symmetrie des Quadrates behandelt.
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Animus
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 | Beitrag No.162, eingetragen 2008-03-29
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Hallo Buri
Erst mal Danke für die spannende Aufgabe und aktuell für die präzise Schilderung der Läuferstrategie für n > N=5,78859...
Damit haben wir eine obere Schranke für N. Im zweiten Posting beschreibst Du eine Gewinnstrategie für den Schwimmer mit n < N = 5,66... als untere Schranke.
Jetzt bin ich etwas unsicher, ob die 5,78859..., auf die sich Rocolo und ich zuletzt einigten, die Lösung sein soll oder ein anderer Wert zwischen 5,66.. und 5,78859...
Liebe Grüße
Animus
[ Nachricht wurde editiert von Animus am 29.03.2008 20:46:15 ]
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rocolo
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 | Beitrag No.163, eingetragen 2008-03-29
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Hallo Buri und Animus,
wenn ich Buri richtig verstanden habe, soll 5,66009... der richtige Wert sein. Ansonsten würde ja auch das gegnerische Team keine Punkte bekommen, wenn ich die Regeln richtig verstanden habe.
Auch von mir einen Dank für die schöne Aufgabe und Lösung.
Irgendwie kann es auch ärgerlich sein, wenn man die Lösung bereits hat und diese nicht erkennt. :(
Dazu möchte ich auch noch die Probleme erläutern, die mir bei dieser Lösung von mir nicht behoben werden konnten.
Zum einen ist dies die Stetigkeit, die man jedoch sehr leicht beheben kann, da man ja wie Buri beschreibt die Intervalle vergrößert. Dies ist auch der Vorteil der Lösung von Buri. Er erhält dadurch mehr Informationen.
Das andere Problem, welches ich aufgrund der Eigenschaften von meinem Bereich A für unwahrscheinlich gehalten hatte, jedoch meiner Ansicht nach diese Lösung "zerstört" hätte, ist die Möglichkeit der Kombination von den bei mir 3 und 8 genannten Wegen, das heißt in Buris Bild sind dies die Wege zur linken und rechten Wand.
Diese führen übrigens auch zu einer besseren Lösung, denke ich, wenn der Läufer sich nicht beliebig nah an den einen der Oppositionspunkte an der Unstetigkeitsstelle annähern könnte und da man ihn auch nicht zwingen kann in den Bereich hinein zu gehen, sollte es die optimale Lösung sein.
Viele Grüße,
rocolo
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Buri
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| Beitrag No.164, eingetragen 2008-03-29
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2008-03-29 20:43 - Animus schreibt:
... ob die 5,78859..., auf die sich Rocolo und ich zuletzt einigten, die Lösung sein soll oder ein anderer Wert zwischen 5,66.. und 5,78859...
Hi Animus,
nein, siehe den Anfang von meinem Post #161.
Die Läuferstrategie ist nicht optimal, weil sie Chancen ungenutzt läßt, sich besser auf dem Rand zu positionieren und eher zu reagieren, als wenn der Schwimmer das kleine Quadrat verläßt.
Das heißt, Schritt 1. der Strategie aus Post #160 kann noch verbessert werden.
Der Grund liegt darin, daß der Umfang des kleinen Quadrats größer als 8 / N ist, ein wenig nur, aber es ist größer.
@alle Die Strategie außerhalb des kleinen, auf der Spitze stehenden Quadrats liegt für alle n>sqrt(2) fest, die wesentlichen Einzelheiten dafür sind im Post \#160 beschrieben, insbesondere ist Anmerkung 3. interessant. Für kleinere n (also zwischen 5.66 und 5.78) ist die Länge des Verlustintervalls auf dem Rand des kleinen Quadrats nicht Null, sondern eine positive Konstante, nämlich 2*(6-k-2/(k+1)), die von k und somit von n abhängt. Die Niveaulinien der Funktion f(x,y), die die Länge des Verlustintervalls angibt, müssen nun in das Innere des kleinen Quadrats fortgesetzt werden, aber nicht bis zum Mittelpunkt des Beckens, sondern nur solange, bis f(x,y) = 0 wird. \small\ Der Mittelpunkt des Beckens und seine Umgebung ist uninteressant, weil dort der Schwimmer machen kann, was er will, ohne daß eine Reaktion des Läufers erforderlich ist. Die Gleichung f(x,y) = 0 bestimmt die Begrenzung eines inneren Bereiches A, der in dem kleinen Quadrat enthalten ist und nach dem trunx im Post \#97 und rocolo im Post \#126 gesucht haben. Die Suche ist noch nicht zu Ende, denn ich kann das Problem noch nicht exakt lösen und habe daher eine näherungsweise Bestimmung der Niveaulinien für verschiedene n durchgeführt. Außer der Funktion f(x,y) braucht man noch die zwei ''Positionsfunktionen'', deren Funktionswerte Punkte des Beckenrandes sind, sie sind nur modulo 8 definiert, und deren Differenz gleich f(x,y) ist. Wegen der Symmetrie genügt es, f(x,y) auf einem Achtel des kleinen Quadrats zu bestimmen, zum Beispiel auf dem Dreieck abs(x-1/(k+1))<=1/(k+1)-y<=1/(k+1)\..
Der Bereich A ergibt etwa ein Achteck mit vier achsenparallelen und vier diagonalen Seiten, und das optimale n ist ca. N = 5.718.
Ungewiß ist, ob damit die angestrebte Genauigkeit erfüllt wird.
Das Verfahren bestimmt zwar simultan optimale Strategien für beide Spieler (ja, es ist ein Spiel, nämlich ein Differentialspiel), aber eine Analyse der Verfahrensfehler ist kaum möglich, man kann nur die Feinheit der Näherung erhöhen und sehen, was passiert.
Ferner ist nicht vollkommen sicher, ob die Situation außerhalb des kleinen Quadrates, wo die Verlustzone des Läufers ein einziges Intervall auf dem Rand ist, auf das Innere des Quadrates übertragen werden kann. Möglicherweise besteht die Verlustzone doch in gewissen Fällen aus zwei Intervallen, das kann man aber erst entscheiden, wenn man einer exakten Lösung des Problems nähergekommen ist.
Ich teile es mit, wenn ich weitere Ergebnisse erziele und verbesserte Werte berechnen kann. Es bleibt noch einiges zu tun, eine exakte Lösung wäre doch wünschenswert, und vor allem möchte man auch die Strategien sehen, die bei einer Näherungsrechnung nur in der Masse der Daten verborgen sind.
Gruß und Dank an alle fürs Mitmachen!
Buri
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.162 begonnen.]
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Animus
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| Beitrag No.165, eingetragen 2008-03-30
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@ Buri
Ich denke, dass der Schwimmer mit jedem n < N=sqrt(70+10*sqrt(41))/2 eine Gewinnstrategie hat. Du schreibst oben: Aus der Gewinnstrategie des Läufers für n > 5.78859 läßt sich keine Gegenstrategie des Schwimmers ableiten. Um zu gewinnen, müßte in dem Moment, wo er das innere Quadrat mit der Seitenlänge (2*sqrt(2))/(sqrt(n^2-1)+1) endgültig verläßt, der Läufer genau auf der zugeordneten Verlustposition stehen. Genau das kann der Schwimmer für n= N =5,78859 ... mit folgender Strategie erzwingen. Jeder Verlustpunkt des Läufers korrespondiert mit einem Gewinnpunkt des Schwimmers auf dem schrägen Quadrat. Verbindet man die vier Seitenmitten des schrägen Quadrates, so erhält man ein Quadrat mit der Seitenlänge 2/(sqrt(N^2-1)+1). Da sich der Schwimmer mit 1/n > 1/N > 1/(sqrt(N^2-1)+1) bewegt, kann er auf diesem Quadrat die Opposition zum Läufer erreichen. Der Gewinnpunkt für den Schwimmer liegt bei Erreichen des kleine Quadrates genau auf dem Lot durch diesen Oppositionspunkt (siehe obige Zeichnung). Nun muss ich dafür sorgen, den Gewinntpunkt trotz Bewegung des Läufers ''einzufangen''. Dazu muss ich nur ständig direkt auf demjenigen Lot zur kleinen Quadratseite bleiben, das durch den jeweils aktuellen Gewinnpunkt geht. Dies ist möglich, da die Geschwindigkeit des Gewinnpunktes zwar sqrt(2)/(sqrt(n^2-1)+1) der Geschwindigkeit des Läufers beträgt und damit mehr als die des Schwimmers, die Geschwindigkeit des Fußpunktes aber nur 1/(sqrt(n^2-1)+1) < 1/n beträgt, also langsamer ist als der Schwimmer. In der unteren Zeichung ist ein beispielshafter Verlauf eingezeichnet: Läuft der Läufer weiter ein Stück zur Seitenmitte, so bewegt sich der Gewinnpunkt nach G2, der Schwimmer bleibt bei S2 unter diesem Punkt. Läuft der Läufer in der gleichen Richtung weiter (Gewinnpunkt nun bei G3) so kann der Schwimmer rechtzeitig S3 erreichen. Setzt der Läufer seien Weg fort, so wird der Schwimmer mit G4=S4 den Gewinnbereich erreichen. Dreht der Läufer um, so wird der Schwimmer beispielsweise bei G5=S5 ihn wiederum auf der anderen Seite abfangen können. Somit kann der langsame Schwimmer den Gewinnpunktpunkt einholen, da er ihm jeweils in der Ecke den Weg abschneiden und so ständig näherkommen kann.
Damit sollte der Wert von N als gleichzeitige obere und untere Schranke fixiert sein.
Grüße
Animus
[ Nachricht wurde editiert von Animus am 30.03.2008 04:58:16 ]
[ Nachricht wurde editiert von Buri am 21.06.2009 13:11:43 ]
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Buri
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| Beitrag No.166, eingetragen 2008-03-30
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Hallo Animus,
2008-03-29 13:53 - Buri schreibt:
Aus der Gewinnstrategie des Läufers für n > 5.78859 läßt sich keine Gegenstrategie des Schwimmers ableiten.
Doch, das ist möglich, und du hast es bewiesen, sehr schön!
Ich kann deine Strategie in allen Teilen nachvollziehen.
2008-03-29 13:53 - Buri schreibt:
Der Läufer kann das stets verhindern, wenn er das Becken schneller umrunden kann als der Schwimmer das Quadrat, und das kann er ... für beliebiges n > Wurzel aus 2.
Falsch! Er kann es nicht.
2008-03-29 13:53 - Buri schreibt:
... Stetigkeitsüberlegungen ... Begründung indessen sehr kompliziert ...
Hinfällig. Ich habe solche Begründungen auch nicht bis zu Ende ausgeführt, gut zu wissen, daß es gar nicht geht.
Meinen herzlichen Glückwunsch zu dieser Lösung!
Was das im Hinblick auf meine eigenen Überlegungen bedeutet, muß ich erst noch untersuchen, insbesondere interessiert es mich, wie die Niveaulinien, deren Verlauf ich untersucht habe, nun wirklich exakt verlaufen, oder ob in meinem Ansatz ein Fehler steckt, das heißt, solche Niveaulinien gibt es gar nicht, weil der wahre Sachverhalt komplizierter ist und nicht durch eine einzige Zahl wiedergegeben werden kann.
Ich schließe mich also deinen Schlußfolgerungen an und stelle fest, daß wir bis auf weiteres davon ausgehen, daß die richtige Antwort
N=sqrt(k^2+1)\approx\ 5.78859 \ mit\ k=(5+sqrt(41))/2 gewesen wäre.
Viele Grüße Buri
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rocolo
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| Beitrag No.167, eingetragen 2008-03-31
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Hallo Buri, hallo Animus,
die Lösung von Animus beinhaltet zwar eine klare Vorgehensweise, jedoch würde mich interessieren wie du auf bestimmte Formeln kommst, bei denen ich noch nicht genau verstanden habe wie sie entstanden sind.
Wie kommst du auf den letzten Term von 1/n > 1/N > 1/(sqrt(N^2-1)+1)?
Wie erhält man sqrt(2)/(sqrt(n^2-1)+1)?
Bei der Eigenschaft der oberen Grenze wäre ich mir auch nicht 100%-ig sicher...
@Buri: Bei deiner Lösung hast du in der Nähe von Q einen Punkt E eingezeichnet bei dem beide Verbindungen zu einer Wand verlaufen. Nach meinen Berechnungen sind in der Nähe der Eckpunkte des Vierecks die Verbindungen zu einer benachbarten und dieser gegenüberliegenden Wand besser...
Die Erkenntnis aus meinem oberen post scheint ja wegen Animus besserer Lösung falsch zu sein. Dies liegt wahrscheinlich daran, dass man den Läufer doch zwingen kann in den Bereich zwischen den beiden Oppositionen an der Unstetigkeitsstelle zu gehen.
Viele Grüße,
rocolo
(P.S. Antwortet bitte noch heute oder zumindest nicht morgen... ;) )
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Buri
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| Beitrag No.168, eingetragen 2008-03-31
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Hi alle,
man kann die Strategie von Animus noch klarer veranschaulichen, wenn man auch den Mittelpunkt des Beckens mit in Betracht zieht.
Hier ist eine Schar von Bahnkurven, auf denen der Schwimmer entlangschwimmt, wenn der Läufer stehenbleibt. Dargestellt ist ein Ausschnitt des Bildes aus dem Beitrag #160.
Jede Kurve ist einer Läuferposition auf dem Beckenrand zugeordnet.
Bewegt sich der Läufer, dann wechselt der Schwimmer auf die benachbarte, neue Kurve, das kann er, weil der Abstand zwischen den Kurven (es sind Streckenzüge aus je zwei Strecken) um einen Faktor kleiner ist als nötig, der Faktor ist kleiner als eine feste Zahl < 1. Der Schwimmer kann also gleichzeitig seinen Abstand zur Mitte ständig vergrößern, mit einer Geschwindigkeit, die nach unten beschränkt ist.
So erreicht er nach spätestens nach einer im voraus angebbaren Zeit den Rand des kleinen Quadrats, und dann schwimmt er nach der Strategie, die durch rote Strecken angedeutet ist.
Übrigens ist es nicht wichtig, wie diese blauen Bahnkurven im einzelnen verlaufen, wichtig ist nur, daß es solche Kurven mit den nötigen Abstandseigenschaften gibt. Man kann (ohne Anfangs- und Endpunkt zu ändern) geringfügig daran "wackeln", und es geht immer noch, aber durch einfache Strecken vom Mittelpunkt zum Rand kann man sie nicht ersetzen.
\geoon ebene(525,525)xy(-0.35,0.35) p(0,0.298,Q)p(0.298,0,P)p(-0.298,0,R)p(0,-0.298,S)nolabel() p(0.06,1,v-)p(1,0.06,v+)p(-0.04,1,w-)p(1,0.04,w+)p(0,0,o) s(P,Q)s(R,S)s(Q,R)s(S,P)p(0.2,0.2,V)p(0.1,0.198,W) p(0.149,0,e0,hide)p(0.149,0.0149,e1,hide)p(0.149,0.0298,e2,hide)p(0.149,0.0447,e3,hide) p(0.149,0.0596,e4,hide)p(0.149,0.0745,e5,hide)p(0.149,0.0894,e6,hide) p(0.149,0.1043,e7,hide)p(0.149,0.1192,e8,hide)p(0.149,0.1341,e9,hide) p(0,0.149,f0,hide)p(0.0149,0.149,f1,hide)p(0.0298,0.149,f2,hide)p(0.0447,0.149,f3,hide) p(0.0596,0.149,f4,hide)p(0.0745,0.149,f5,hide)p(0.0894,0.149,f6,hide) p(0.1043,0.149,f7,hide)p(0.1192,0.149,f8,hide)p(0.1341,0.149,f9,hide) p(0.149,0.149,f10,hide) p(-0.0149,0.149,d1,hide)p(-0.0298,0.149,d2,hide)p(-0.0447,0.149,d3,hide) p(-0.0596,0.149,d4,hide)p(-0.0745,0.149,d5,hide)p(-0.0894,0.149,d6,hide) p(-0.1043,0.149,d7,hide)p(-0.1192,0.149,d8,hide)p(-0.1341,0.149,d9,hide) p(-0.149,0.149,d10,hide) 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Nach den hier abgebildeten Bahnkurven habe ich in Anlehnung an den Fall eines kreisförmigen Beckens (dort sind es einfach Kreisradien) intensiv gesucht, aber vergebens. Ich habe nur festgestellt, daß es mit geradliniger Verbindung nicht geht, außerdem war mir der Rand des Gebietes, in dem diese Bahnkurven liegen (das auf der Spitze stehende Quadrat) noch nicht bekannt.
Im Fall eines kreisförmigen Beckens kann man sich überlegen, daß der Schwimmer, wenn er von Radius zu Radius springt, während der Läufer mit maximaler Geschwindigkeit läuft, einen Halbkreis beschreibt, der im Mittelpunkt beginnt und den "kritischen", inneren Kreis vom Radius 1 / N (der Optimalwert N ist ca. 4.66) berührt.
Wir sind nun gut gerüstet, um auch andere Beckenformen zu untersuchen, zum Beispiel ein regelmäßiges n-Eck sowie ein n-Eck, das nicht allzusehr von einem regelmäßigen abweicht, insbesondere ein Rechteck, das fast quadratisch ist usw.
Auch kann man einen Grenzübergang n --> ∞ versuchen und gekrümmte Beckenränder betrachten, die Lösung im Falle des Kreises ist bekannt (Internet-Suche nach "duck and fox").
Gruß Buri
[ Nachricht wurde editiert von Buri am 31.03.2008 22:49:06 ]
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Animus
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| Beitrag No.169, eingetragen 2008-04-01
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HAllo rocolo
Die Zahl N und die Größe des schrägen Quadrates erhält man durch die Rechung in meinen ersten Posting (No 64)(man muss nur den Wert von x verdoppeln, um Buris Werte zu erhalten, da ich von einem Ursprungsquadrat der Seitenlänge 1 ausgegangen bin). Die Gleichungen bedeuten, dass bei Mittelstlellung des Läufers und der Schwimmers in Opposition mit Abstand x zum gegenüberliegendem Beckenrand sowohl beim langen Weg nach unten wie beim langen Weg zur Seite (Über die 2. untere Ecke!) die Spieler jeweils genau aufeinandertreffen:
Weg nach unten: 2+x/sqrt(N^2-1)=N*x*N/sqrt(N^2-1) Langer Weg zur Seite: 5/2+x+1/2*1/sqrt(N^2-1)=N*1/2*N/sqrt(N^2-1) Daraus ergibt sich N=sqrt(70+10*sqrt(41))/2~=5.788593144588944 und x=2/sqrt(N^2-1)~=0.35078105935821 1-2*x=2/(sqrt(N^2-1)+1)~=0.29843788128358 : Diagonale des schrägen Quadrates Weiter gilt mit n<N: N^2< (N^2-1)+2\.sqrt(N^2-1)+1=(sqrt(N^2-1)+1)^2, dass n< N < sqrt(N^2-1)+1, also 1/n>1/N>1/(sqrt(N^2-1)+1)
Hallo Buri
Danke für die rasche und kompetente Rückmeldung. Da wir letztlich die richtige Lösung hatten, wäre es unheimlich nett, uns die Punkte zu schenken, obwohl nur zwei am Abgabetag (rocolo und ich) die richtig korrigierte Lösung auf den allerletzten Drücker (offizieller Startzeitpunkt 10:31 oder 10:40?) gepostet haben.
An der ganzen Verwirrung bin ich leider schuld, da ich anfänglich die richtige Lösung gepostet hatte, dann aber wegen der zwanglosen Erreichbarkeit richtigen Bahnkurven im schrägen Quadrat von einer weiteren Optimierungsmöglichkeit ausgegangen bin. Leider hatte ich dabei übersehen, dass der Gewinnpunkt bei größerem n in den Ecken des schrägen Quadrates dann einen unstetigen Sprung macht, wenn der Läufer das Eck umrundet, wodurch der Gewinnpunkt nicht mehr eingefangen werden kann. Dein Nachweis für die sichere Strategie des Läufers ist da natürlich viel schöner.
Naochmals danke für das schöne Rätsel!!
Grüße
Animus
[ Nachricht wurde editiert von Animus am 01.04.2008 01:25:15 ]
[ Nachricht wurde editiert von fed am 08.04.2012 11:39:55 ]
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