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Matroids Matheplanet Forum Index » 7. Matheplanet Challenge » Aufgabe 10
Thema eröffnet 2008-03-19 10:31 von Kay_S

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Kein bestimmter Bereich J Aufgabe 10
Realshaggy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.40, eingetragen 2008-03-22


Ich denke auch, es ist eine gute Idee, sich erstmal mit dem Fänger zu beschäftigen. Der kann schließlich nur in 2 Richtungen laufen, und wenn wir uns geeinigt haben, welche Taktik er verfolgt, können wir zu jedem Weg des Schwimmers direkt sagen, was der Fänger dabei anstellen würde. Allerdings ist es auch hier schon nicht so einfach, zu sagen, welche von 2 Taktiken die bessere ist.

Hier ein Beispiel, in dem sich unsere beiden beschriebenen Taktiken für den Fänger unterschieden. Bei der von Fabi (Teilung des Quadrats durch die Gerade durch Fänger und Mittelpunkt) würde er im Uhrzeigersinn loslaufen, bei meiner Taktik (Projektion des Schwimmers auf die nächstliegende Seite) läuft er entgegen dem Uhrzeigersinn.

Bild

Welche ist besser und warum?



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spitzwegerich
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.41, eingetragen 2008-03-22


Ich denke der Fänger muss optimalerweise immer den Beckenrandpunkt p ansteuern, bei dem das Verhältnis

(Entfernung Schwimmer von p):(Entfernung Fänger von p entlang des Beckenrands)

maximal ist.

Wenn der Fänger bereits auf p steht, dann bleibt er dort stehen.

Damit ist die Strategie des Fängers aber leider noch nicht eindeutig festgelegt. Denn einerseits kann es sein, dass die Entfernung zu p linksrum und rechtsrum genau gleich groß ist.

Andererseits sollte es aufgrund der quadratischen Beckenform möglich sein, dass es zwei Punkte auf dem Beckenrand gibt, bei denen das obige Verhältnis maximal ist.


Bei der bekannten Rätselvariante mit dem runden Becken treten die beiden Probleme nicht auf. Denn der zweite Fall kommt nicht vor, und im ersten Fall liegt eine symmetrische Konfiguration vor, so dass es egal ist, ob der Fänger links- oder rechtsrum läuft.

[ Nachricht wurde editiert von spitzwegerich am 22.03.2008 03:44:30 ]



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spitzwegerich
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.42, eingetragen 2008-03-22


Wenn ich nochmal darüber nachdenke, stimmt das, was ich gerade geschrieben habe, so nicht unbedingt.

Denn wenn der Fänger schnell genug ist, kann er dem Schwimmer auch erst mal zusehen und muss erst dann loslaufen, wenn der Schwimmer sich dem Rand zu weit genähert hat. Zumindest sehe ich keinen direkten Grund, warum dieses Verhalten (bei hinreichend großer Geschwindigkeit des Fängers) nicht auch optimal sein kann.

[ Nachricht wurde editiert von spitzwegerich am 22.03.2008 03:58:58 ]



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Realshaggy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.43, eingetragen 2008-03-22


Ein zweites Posting, weil völlig anderer Bezug:

Ein anderer Trugschluss, dem ich aufgesessen bin ist, daß ich dachte, ab irgendeinem Zeitpunkt sollte man gerade zum Rand schwimmen. Aber nun habe ich mal angefangen, daß ganze Problem von hinten aufzurollen, also das letzte Teilstück des Weges zu betrachten.

Gehen wir mal davon aus, daß wir das in der Aufgabenstellung geforderte größtmögliche N bereits kennen. Weiterhin gehen wir davon aus (das ist aber eine unbewiesene Annahme!), daß sich das Ende des dann gerade noch vorhandenen Fluchtweges (bzw. die Stelle wo der Fänger den Schwimmer geradeso erreicht trotz optimaler Fluchttaktik) nicht einer Ecke befindet, sondern "genügend weit weg".

Dann tritt irgendwann folgender Fall ein: Der Läufer biegt um die letzte Ecke, und hat vom Lot des Schwimmers auf den Rand den Abstand a. Der Schwimmer hat den Abstand b zum Rand. Folgt nun der Schwimmer einer optimalen Strategie, so muß er das Verhältnis der Strecken, die der Läufer und er ab diesem Zeitpunkt bis zu ihrem Treffen zurücklegen, möglichst groß zu machen. Dieses erreicht er, indem er von seiner Position aus in einem Winkel alpha zum Lot zum Rand schwimmt. Beliebige Kurven kommen nicht in Frage, denn dann gäbe es eine Strecke gleicher Länge, die ihn noch weiter vom Eckpunkt wegführt als eine solche Kurve, und somit den Läufer zu einer höheren Geschwindigkeit zwingen würde.

Der optimale Winkel alpha läßt sich mit elementarer Analysis leicht bestimmen.

Der Läufer muß eine Strecke der Länge fed-Code einblenden zurücklegen, der Schwimmer hingegen eine Strecke der Länge fed-Code einblenden .

Wir wollen also die folgende Funktion maximieren:

fed-Code einblenden

Das übliche Prozedere von Ableiten, Nullsetzen und Testen mittels zweiter Ableitung zeigt dann, daß ein lokales Maximum vorliegt wenn

fed-Code einblenden

Für die Größenordnungen, die wir im Augenblick für N annehmen, sind das so um die 10 Grad. Das ist übrigens auch gerade der Winkel, unter dem der Läufer den Schwimmer von der Ecke aus sieht, also Ecke (Läufer), Schwimmer und Zielpunkt des Schwimmers schließen einen rechten Winkel ein.
[ Nachricht wurde editiert von Realshaggy am 22.03.2008 04:11:09 ]



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cow_gone_mad
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.44, eingetragen 2008-03-22


Nach Sastra's Ueberlegung ist klar, dass man das Becken in einen Schwimmerdominierten und einen Laeuferdominierten Teil aufteilen kann... wink Wobei der Schwimmer, wenn ich mich nicht verdenke im Schwimmerdominierten Teil jede beliebige Position relativ zum Laeufer einnehmen kann. (Das stimmt so nicht ganz, da der Laeufer sich nicht bewegen koennte.
Mein Problem mit solchen Gedanken, die sind sehr kompliziert. Wir suchen doch eigentlich eine einfache Loesung. (So in 7 Zeilen erklaerbar biggrin )


Sonst bin ich noch immer der Meinung, dass Wurzel(26) wink ein guter Tipp waere.

Liebe Gruesse,
cow_




[Die Antwort wurde nach Beitrag No.42 begonnen.]



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Realshaggy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.45, eingetragen 2008-03-22


Wie wir aber schon festgestellt haben, stehen alle Argumente, die sich darauf beziehen, daß der Schwimmer bestimmte Positionen zum Läufer beziehen kann, auf tönernen Füßen. Im Kreis gilt das, da jeder Durchmesser eine Symmetrieachse ist, aber hier wird diese perfekte Symmetrie gebrochen.



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cow_gone_mad
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.46, eingetragen 2008-03-22


Noch ein Argument fuer die Loesung der Gleichung N^2 = 26. Wenn man animmt, dass der Schwimmer auf der Nord oder Ost Seit ankommt, und der Laeufer im Sued-Westen anfaengt. Dann ist Wurzel(26) die minimale Geschwindigkeit, dass der Laeufer den Schwimmer mit folgender Strategie faengt:

Gehe zur Nord-Ost Ecke.
Gehe zum Punkt wo der Schwimmer hinschwimmt.

Unter der Annahme, dass der Schwimmer eine gerade Linie schwimmt. (Aber dies ist keine grosse Einschraenkung, die Einschraenkung ist, dass der Schwimmer auf Nord oder Ost Seite ankommt!)

Liebe Gruesse,
cow_




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sastra
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.47, eingetragen 2008-03-22


@Realshaggy: Ich sehe noch nicht ein, wieso man das Verhältnis
der beiden Strecken maximieren muss.

Man muss doch "einfach" den grössten Winkel Alpha bestimmen, so dass
fed-Code einblenden
gerade noch N-mal kleiner ist als
fed-Code einblenden
Was aber meiner Meinung nach nicht das selbe Resultat liefert...

Gruss, Sastra




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trunx
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.48, eingetragen 2008-03-22


Hallo,

ich stelle mal die Strategie vor, die mir bisher aus allem was hier so gekommen ist, als die beste erscheint (siehe Skizze):

Bild

Demnach gibt es drei Phasen (das Quadrat hat die Kantenlänge 1):

1. Phase (blau): Wie Sastra, aber vor ihm schon mathp und andere festgestellt haben, ist die Position des Schwimmers in der Mitte verbesserbar, das Gleichgewicht aus den besten Strategien sowohl des Läufers als auch des Schwimmers ergibt sich, wenn am Ende der Läufer in Position A, der Schwimmer in Position C ist. Für den Abstand d des kleinen Quadrats vom Rand ergibt sich: 2d = 1 - 1/n

2. Phase (grün): Der Schwimmer verläßt seinen Punkt hier immer in Richtung auf den vom Schwimmer am weitesten entfernten Punkt - klar kann sich daher der Läufer hier an jedem dieser Punkte neu orientieren, da dies aber auf die Strategie des Schwimmers keinen Einfluss hat, sprich der Abstand vom je anvisierten Auftreffpunkt zum aktuellen Ort des Läufers stets 2 bleibt, ist es zunächst o.B.d.A., dass der Läufer eine Richtung bevorzugt - dies ist sozusagen das lokale Argument. Das globale Argument unterstützt dies, denn pendelt der Läufer hin und her, wird der Schwimmer entlang der Diagonalen zum Beckenrand pendeln und dieses letztlich ohne Phase 3 erreichen können.

Die Bedingung für die grüne Kurve lautet also:
fed-Code einblenden

3. Phase (violett): Nun geht es zum Rand. Zunächst muss der Lotpunkt L anvisiert werden, schräges Schwimmen Richtung Ursprung 0 führt dazu, dass der Läufer natürlich den kürzesten Weg nimmt, also wieder umkehrt. Letztlich muss aber der Schwimmer immer einen neuen Punkt am Ufer anvisieren - allerdings sind diese Punkte nicht mehr so bestimmt, dass der Läufer von diesen den Abstand 2 hätte (dies führt zur schwarzen Kurve, die letztlich in einen geschlossenen Weg mündet), sondern eben immer so, dass das Verhältnis n maximiert wird und Läufer und Schwimmer zeitgleich in E ankommen. Einen geschlossenen Ausdruck habe ich dafür allerdings noch nicht.

So, das war's von mir :-)
Es wäre schön, wenn mal jemand rüberschauen würde, dabei wäre von Interesse, ob diese Strategie wirklich optimal ist, und dann natürlich ob die einzelnen Phasen so stimmen und dann zu allerletzt, ob sich daraus ein Wert für N bestimmen läßt.

Frohe Ostern!

bye trunx

ps: achso, √26 halte ich nicht für die Lösung, zumal ich oben (Beitrag 32) bereits einen wesentlichen besseren Wert angegeben hatte (den ich aber wie eben beschrieben, noch nicht für das Optimum halte) - ich denke der Wert wird irgendwo zwischen 7 und 10 liegen.

[ Nachricht wurde editiert von trunx am 22.03.2008 12:40:13 ]



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HansHaas
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.49, eingetragen 2008-03-22


Hi Leute,

Wenn man das mit dem "Möglichst lange auf einer Linie mit Mittelpunkt und Läufer bleiben und danach Beckenrand anvisieren" durchrechnet, erhält man eine maximale Lösung <5, nämlich die Lösung von N²-4N-4=0.
Das liefert also wohl keine optimale Strategie für den Schwimmer.

Hier noch zur Überprüfung meine Rechnung:
fed-Code einblenden

Gruß,
Hans



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matph
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.50, eingetragen 2008-03-22


Hallo,

Ein Gedanke zur Strategie für den Läufer: smile

Die Eckposition - bzw. zumindest in der Nähe der Ecke - ist im Vergleich zur Mitte der Kante sehr gut, da der Schwimmer in die weiter entfernten Eckregionen ebenfalls mehr Zeit benötigt, und er wird diese daher nicht aufgeben, falls er dazu nicht gezwungen wird.
Es wird erst notwendig, dass dieser Startet, falls der Schwimmer einen Bereich der folgenden Form zu verlassen droht.

MPC7.10.2.png
Schematische Darstellung, rein um eine ungefähre Vorstellung vom Aussehen zu erhalten


Der Schwimmer kann sich daher ebenfalls im Grunde in diesem Bereich relativ frei bewegen.

--
mfg
matph



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.48 begonnen.]



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Xerdon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.51, eingetragen 2008-03-22


Welchen Punkt steuert der Läufer nun eigentlich an?

Wenn ich das so richtig verstanden habe, steurt der Läufer immer den Punkt des Beckenrandes an, der dem Schwimmer an nächsten ist, oder habe ich das etwas falsch verstanden?

Der Läufer sei am Anfang in der NW Ecke. Dann könnte der Schwimmer auf der Diagonalen erstmal in die SO schwimmen. O.B.d.A nimmt der Läufer den Weg in die NO Ecke. Dann könnte doch der Schwimmer die Diagonale so weit nach Süden verlassen, dass der Läufer wieder umdreht, weil der nächstliegende Punkt, der für den Schwimmer das rettende Ufer wäre, andersherum schneller zu erreichen wäre. Der Läufer bewegt sich also wieder in die NW Ecke. Gleichzeitig bewegt sich der Schwimmer wieder auf die Diagonale, nur nun etwas weiter von der Mitte entfernt. Das könnte der Schwimmer nun doch öfters machen und so zwingt er den Läufer immer wieder umzudrehen und kann sich gleichzeitig selber immer nächer in die SO heranarbeiten.

Habe ich da nun einen Denkfehler drin bzw. haben wir die Strategie schon längst über den Haufen geworfen?



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HansHaas
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.52, eingetragen 2008-03-22


Hi Matph,

Wenn es gelingen würde, die Größe des Bereichs in Abhängigkeit von n anzugeben, dann wären wir fertig, den Wert N erhielten wir dann, wenn der Bereich 0 wird.
Wenn nämlich der Läufer noch Zeit zum verweilen hat und den Schwimmer nachher noch sicher erwischt, ist doch n > N, oder sehe ich etwas falsch?

\EDIT: Ok, ich sehe was falsch. Ein wunderbares Problem!  smile

Gruß,
Hans
[ Nachricht wurde editiert von HansHaas am 23.03.2008 12:18:32 ]



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trunx
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.53, eingetragen 2008-03-22


@mathp: Sastra hatte ja angeregt, dass der Bereich, in dem sich der Schwimmer relativ frei bewegen kann, das kleine blaue Quadrat mit der Seitenlänge 1-2d ist. Denkst du denn, dass dieser Bereich eine andere Form hat?

bye trunx



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cow_gone_mad
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.54, eingetragen 2008-03-22


@trunx: Der Laeufer geht bei deiner Strategie am Anfang in die Mitte einer Seite! wink

LG,
cow_




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trunx
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.55, eingetragen 2008-03-22


@cow_: du meinst in Phase 1? Das ist nur der Fall, wenn der Schwimmer in seiner Ecke "stehen" bleibt. Wenn sich der Schwimmer auf dem Rand bewegt, kann der Läufer zu dieser Position gezwungen werden. (es sei denn, ich übersehe etwas, dann sag's bitte genauer).

bye trunx



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cow_gone_mad
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.56, eingetragen 2008-03-22


Hallo Trunx smile

fed-Code einblenden

Liebe Gruesse,
cow_




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trunx
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.57, eingetragen 2008-03-22


Hallo cow_

hmm, ehrlich gesagt verstehe ich dich immer noch nicht..., wenn die Situation durch Vorgabe, Zufall oder was weiß ich so wäre, wie zu Beginn der Phase 2, also Läufer in Position A, Schwimmer in Position C und der Läufer bewegt sich von sich aus auf eine Seitenmitte hin, sagen wir in Richtung B, dann verschlechtert er zusehends seine Position - der Schwimmer wird dann logischerweise C verlassen und zwar in Richtung Beckenrand zwischen 0 und E. Also warum sollte der Läufer das tun? Die angegebenen Eckpositionen sind m.M. nach wie gesagt für beide optimal.

bye trunx



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sastra
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.58, eingetragen 2008-03-22


Hi trunx

Ich habe mittlerweile Deine Strategie (Post Nr 32)
nachgerechnet und bin ebenfalls bei 5.513 gelandet...

Aber auch ich sehe noch nicht ganz ein, wie der Schwimmer vorgehen
soll, falls er und der Läufer sich jeweils in der Mitte der Seiten
gegenüberstehen.

"Irgendwie" ist es vielleicht schon klar, dass diese Stellung für
den Läufer schlechter ist, aber dieses Bauchgefühl hat mich noch
nicht überzeugt...

Gruss, Sastra



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trunx
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.59, eingetragen 2008-03-22


@sastra:

wenn sich Schwimmer und Läufer in den jeweiligen Mitten gegenüber stehen, ändert sich nichts am weiteren Verlauf, sprich auch hier käme dann Phase 2 und Phase 3 so wie oben beschrieben (Beitrag 48) - die ganze Sache verschiebt sich halt nur nach unten.

bye trunx



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Realshaggy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.60, eingetragen 2008-03-23


Ich bin jetzt durch Aufstellen einer Gleichung und numerische Lösung zu dem Wert

N=5,079833

gelangt, bei dem der Schwimmer gerade noch entkommt.

Und zwar ist dies die einzige positive Nullstelle des Polynoms

fed-Code einblenden

Ich glaube auch beweisen zu können, daß der Schwimmer eine optimale Strategie verfolgt hat, obwohl alle Schritte elementar sind, und ich nicht mal Differentialgleichungen benötigt habe. Außerdem verhält sich der Läufer noch etwas anders als wir das bisher betrachtet haben, und erzwingt dadurch eine für ihn bessere Ausgangssituation, wodurch der Wert niedriger ist, als viele der bisher angegebenen Werte. Alle Ansätze die von einem Start der "Phase II" in Ecken ausgehen, enthalten einen wesentlichen Denkfehler, aber das erläutere ich lieber morgen.

Edit: Sorry, daß ich den Post nun so oft geändert habe. Ich bin mir mittlerweile ziemlich sicher, aber ich möchte nochmal drüber schlafen und das ganze nochmal durchchecken.
[ Nachricht wurde editiert von Realshaggy am 23.03.2008 02:09:55 ]



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trunx
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.61, eingetragen 2008-03-23


Hallo,

nachdem ich mir cow_'s Post und auch den von Sastra nochmal näher überlegt habe, bin ich wieder stark ins Zweifeln gekommen - die "Verschieberei nach unten" z.B. ist quatsch... und daher denke ich, dass es vllt sinnvoll wäre hier zwei Teams zu bilden, sozusagen ein Läufer-Team und ein Schwimmerteam um wirklich an die optimale Strategie zu kommen.

Nur so als Idee. Ich bin auch gern bereit ins Läufer-Team zu gehen  biggrin

bye trunx





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trunx
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.62, eingetragen 2008-03-23


@realshaggy: Aus Sicht eines Läufers ist die Strategie nicht optimal - was macht er denn, wenn sich der Schwimmer entschliessen sollte, entlang der Diagonale zu schwimmen? Er müsste nach deiner Vorstellung stehen bleiben und n ginge sogar bis unendlich...

bye trunx



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.63, eingetragen 2008-03-23


Vielleicht ist es gar nicht nötig, die Strategie des Läufers explizit zu bestimmen. Im Grenzfall ist ja die Strategie des Läufers egal - er erreicht den Schwimmer sowieso nicht.
Also muß das Zahlenverhältnis der Geschwindigkeiten gesucht werden, bei der der Schwimmer immer noch eine Strategie findet, ohne daß der Läufer ihn kriegen kann, egal, welche Strategie er verwedendet. Oder?



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Animus
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Dabei seit: 05.01.2006
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.64, eingetragen 2008-03-23


Hallo zusammen

Jetzt nähern wir uns der Lösung. Sie sollte irgendwo zwischen 5,5 und 6 liegen.

Ich halte 5,9014... von Realshaggy aber für zu hoch, da dazu angenommen wird, dass wir den Läufer in der Ecke zur Opposition gegenüber dem Schwimmer auf trunx´ blauen inneren Quadrat bringen können.

Dies ist aber für den Läufer nicht der ideale Fall, so dass er anfangs zur Mitte einer Seite läuft und nicht in die Nähe der einer Ecke geht. Erst wenn der Schwimmer auf eine Ecke zuschwimmt, schneidet ihm der Läufer auf dem *kürzeren* rechtzeitig den Weg ab.
Der Schwimmer muss also eine andere Strategie anwenden, die ich wie folgt vorschlage:

Sitzt der Läufer in der Mitte der oberen Seite, so hat der Schwimmer potentiell 3 mögliche Ziele: rechte Seite, linke Seite oder untere Seite.
Bleibt der Läufer in der Mitte, dann schwimmt der Schwimmer weiter nach unten. Läuft er in eine der Ecken, so schwimmt der Schwimmer wagerecht (mit leichter Neigung nach unten) zur Gegenseite und droht damit beim Weiterlaufen des Läufers ungefährdet diese zu erreichen.
Nun muss der Läufer umkehren (dann kehren wir wieder leicht nach unten versetzt zum Umkehrpunkt zurück) oder bleibt stehen, worauf hin wir direkt weiter nach unten wandern. So könne wir uns der unteren Seite immer weite nähern.

Wenn wir weit genug unten angekommen sind, muss der Läufer losrennen, um uns vor dem Erreichen der unteren Seite zu stoppen, allerdings ist der weite Weg zur Gegenseite für den Läufer inzwischen kürzer geworden. Der Grenzfall N wird erreicht, wenn es bei mittiger Position von Läufer und Schwimmer einen Punkt gibt, bei dem der Schwimmer sowohl beim idealen Weg nach unten (mit leicht schrägen Versatz) wie bei Weg zur langen Gegenseite (mit Versatz nach oben) exakt vom Läufer abgefangen wird.

Hieraus ergibt sich für N: (x sei der Abstand des Schwimmers nach unten)

fed-Code einblenden

Wird eine n < N gewählt, so kann sich der Schwimmer nahe genug dem unteren Rand nähern, ohne dass der Läufer durch das Losrennen das Erreichen der entfernten Seite verhindern kann.

Gruß, Animus



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.61 begonnen.]



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Realshaggy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.65, eingetragen 2008-03-23


Da der Wert nun zitiert wurde, möchte ich keine Mißverständnisse aufkommen: Ich habe meinen Post oben geändert. Ursprünglich stand dort N=5,9014. Dieser Wert gilt allerdings nur, wenn "Phase II" mit Positionen in diagonal entgegengesetzten Ecken des inneren und äußeren Quadrats beginnt. Wenn sich der Läufer aber cleverer verhält, kann er eine für ihn günstigere Startsituation erzwingen, so daß er schon bei dem jetzt oben angegebenen Wert N=5,079833 den Schwimmer unabhängig von dessen Strategie erreichen kann. Wie schon gesagt, näheres morgen.



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trunx
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.66, eingetragen 2008-03-23


Hi,

ich möchte meine Strategie aus Beitrag 48 verteidigen, allerdings ist die Bedingung für d in Phase I nicht korrekt.

Aber es läßt sich die Situation erreichen, dass der Läufer in Position A und der Schwimmer in Position C ist (siehe Skizze):

Bild

Während also der Schwimmer von M nach D schwimmt, ist es für den Läufer richtig, von A nach B zu laufen (aber er könnte zunächst auch warten, entsprechend ändert sich der Winkel in dem der Schwimmer Richtung Beckenrand schwimmt, indes "nur" Warten bringt nichts, da dann der Schwimmer bis zum südlichen Rand schwimmt und aussteigt). Mithin - die Situation "Läufer in Punkt B, Schwimmer in Punkt D" ist eine gültige Situation.

Nun biegt der Schwimmer nach Osten Richtung E' ab u.z. derart, dass das Verhältnis von (BEE')/(DCE') genauso ist wie das von (BAE'E)/(DCE). Sprich: wenn sich der Läufer nicht entscheidet umzukehren, schwimmt der Schwimmer bis E', andernfalls tritt die Situation ein "Läufer in Position A, Schwimmer in Position C". Die Gleichwertigkeit beider Optionen liefert die richtige Bestimmungsgleichung für d.

Zuguterletzt ist es noch so, dass der Schwimmer im Falle der Umkehr des Läufers das gleiche Spiel noch einmal im Punkt C beginnen könnte, dies führt nun dazu, dass der Läufer eben nicht anfangs wartet und auch nicht umkehrt.

Eine Option bleibt dem Läufer noch - er könnte gleich von A aus Richtung E' laufen, dann schwimmt der Schwimmer in dem Winkel zum südlichen Beckenrand, der optimal für ihn ist (blaue Linie Richtung F). Auch dieses Verhalten muss gleichbedeutend mit den anderen Strategien sein - aber ist berechenbar smile und einigen wird dieses Ergebnis sehr bekannt vorkommen:

Es ist √26.

bye trunx







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Realshaggy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.67, eingetragen 2008-03-23


OK, hier nun meine Lösung, in der hoffentlich kein Fehler steckt, und in der ich hoffentlich alle Schwachstellen genau angegeben habe. Auch wenn es lang ist, ich wäre für Kritik und Anmerkungen sehr dankbar. Einige Sachen habe ich etwas technischer beschrieben, als wir das bisher getan haben, aber wir sind teilweise auch an einem Punkt, wo wir mit verbalen Argumenten einfach aneinander vorbeireden, weil die Begriffe schwammig sind. Ein paar Skizzen würden dem Post glaub ich gut tun, aber ich bin mir gerade unschlüssig wie ich die produzieren soll, da hab ich leider keine Erfahrung drin.

Der Läufer sei also zu Beginn in der unteren linken Ecke des Beckens (0|0), der Schwimmer im Punkt ( 1/2 | 1/2 ), die obere rechte Ecke des Beckens liege im Punkt (1|1).

Zunächst wollen wir uns mit dem Fänger beschäftigen. Wir machen es uns etwas einfacher, indem wir für diesen eine Schar von Strategien festlegen. Was soll das genau heißen? Wenn wir die Aufgabe formal beschreiben ist eine Strategie des Fängers eine Abbildung f(r,b)->[-n,n] wobei r ein Punkt des Randes und b ein Punkt des Schwimmbeckens ist. Für jede Position von Fänger und Schwimmer wird also eine Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Fängers festgelegt.

Das ist auch der zentrale Schwachpunkt meiner gesamten Lösung. Da wir  Strategien für den Läufer fixieren, anstatt alle Strategien zuzulassen, berechnen wir im folgenden im Prinzip nur eine obere Schranke und keinen exakten Wert. Es kann ja sein, daß es für den Fänger Strategien gibt, die aus seiner Sicht noch besser sind, also N weiter nach unten drücken. Ich glaube das nicht, aber für diese Tatsache habe ich keinen Beweis.

Wir betrachten also die durch die folgende verbale Beschreibung gegebene Schar von Strategien S_n für den Läufer, n sei dabei ein variabler Parameter.

* Schreibe dem Schwimmbecken konzentrisch und seitenparallel ein Quadrat mit Kantenlänge 1/n ein.
* Ist der Schwimmer innerhalb des inneren Quadrates oder auf seinem Rand, so renne mit Geschwindigkeit n zum nächstgelegenen Seitenmittelpunkt (bzw. im Uhrzeigersinn, falls dieser nicht eindeutig bestimmt ist). Bleibe stehen, falls du dich schon in einem solchen befindest.
* Ist der Schwimmer außerhalb des inneren Quadrates, so teile das Quadrat durch die Gerade durch Läufer und Quadratmittelpunkt in zwei Bereiche, und renne mit Geschwindigkeit n in Richtung des Bereiches, in dem sich der Schwimmer befindet, bzw. im Uhrzeigersinn, falls er sich auf der Gerade befindet.

Wir lösen nun die folgende Aufgabe: Bestimme das größte N, so daß für jedes n < N der Schwimmer einen Weg zum Rand finden kann, bei der ihn der Läufer mit Strategie S_n nicht erreicht.

Für die Strategie S_N existiert dann ein Weg des Schwimmers, auf dem ihn der Läufer geradeso abfängt, d.h. wenn der Schwimmer und der Läufer denselben Weg nochmals nehmen, aber der Läufer dabei diesmal nur Geschwindigkeit N-epsilon hat, erreicht er ihn nicht mehr. Wir konstruieren Eigenschaften dieses Weges.

Zunächst teilen wir das ganze wieder in 2 Phasen. Phase II beginnt, wenn der Schwimmer sich ab diesem Zeitpunkt nie mehr innerhalb des inneren Quadrates aufhält. Wir werden später noch zeigen, daß es für den Schwimmer optimal ist, wenn er zu diesem Zeitpunkt das innere Quadrat durch die Mitte der dem Läufer entgegengesetzten Seite verläßt. Das ist der erste Irrtum, den ich gestern schon erwähnt hatte, die Annahme daß die Startpositionen in den Ecken liegen: der Läufer erzwingt die Startposition von Phase II durch seine festgelegte Strategie, und es ist für ihn günstiger als die Startposition in Eckpunkten (auch das werden wir noch ausrechnen).

Nun kommt der zweite Irrtum, dem viele aufgesessen sind: Wenn der Schwimmer einmal das innere Quadrat endgültig verlassen hat, und sich der Läufer mit Maximalgeschwindigkeit entlang einer der Beckenkanten bewegt, gibt es für den Schwimmer entgegen bisheriger Annahmen keine Möglichkeit mehr, die Gerade durch Läufer und Mittelpunkt noch einmal zu schneiden (und damit den Läufer gemäß seiner Strategie zu einem Richtungswechsel zu zwingen). Das ist auch anschaulich klar: das innere Quadrat ist ja gerade dadurch definiert, daß der Schimmer auf diesem gerade noch die Winkelgeschwindigkeit der Gerade halten kann. Damit gibt es keine weiteren Nebenbedingungen an die Bahn des Schwimmers. Derselbe Irrtum trat auf für die bisherigen Überlegungen bei denen die Ecken als Startpunkte angenommen wurden. Der Schwimmer sollte sich zunächst an der Diagonalen orientieren, und dann langsam davon abweichen, stets soviel, daß er die Gerade durch Läufer und Mittelpunkt nicht schneidet. Dadurch entsteht eine Kurve, man kann eine Differentialgleichung aufstellen usw. Aber das ist meiner Meinung nach Unsinn, er KANN die Gerade gar nicht schneiden, egal wie er sich bewegt. Man kann das ganze auch langwierig ausrechnen, wenn es mir jemand nicht glaubt. (Edit: bei den Eckpunkten kann er leider doch, aber für den Fall der Kantenmittelpunkte stimmt es.)

Jedenfalls gibt es entgegen der bisherigen Annahmen keine Nebenbedingung durch diese Diagonale an den Weg des Schwimmers. Es gibt aber eine Nebenbedingung, die durch die Maximalität von N verursacht wird: Der Schwimmer wählt keine beliebige Kurve zum Rand, sondern eine Strecke. Angenommen, der nach den obigen Bemerkungen existierende Weg, auf dem der Läufer ihn geradeso fängt, ist keine Strecke, sondern eine Kurve. Dann gibt es eine Strecke, die dieselbe Länge wie die Kurve hat, aber den Läufer zu einem noch längeren Weg zwingt, er somit den Schwimmer nicht erreicht (es sei denn er läuft schneller), was ein Widerspruch dazu ist, daß N maximal ist.

Bild

Wir haben nun also die folgende Situation: Der Läufer ist in Position (0, 1/2), der Schwimmer ist in Position fed-Code einblenden und hat wegen der Maximalität nur noch die Optionen unter einem Winkel alpha zum Lot gerade zum Rand zu laufen.

Bild

Angenommen der Schwimmer wählt den Winkel alpha
Die Zeit die der Schwimmer bis zum Beckenrand braucht ist dann fed-Code einblenden
Die Zeit, die der Läufer bis zu diesem Auftreffpunkt braucht, ist fed-Code einblenden

Wir suchen also das größte N, so daß die Gleichung
fed-Code einblenden
noch eine Lösung besitzt, oder etwas umgeformt daß
fed-Code einblenden
noch eine Lösung besitzt. Damit kann man jetzt numerisch schon rumspielen, es ergibt sich N=5,079833. Ein wenig geht es auch analytisch noch weiter, was ich hier etwas abgekürzt darstellen will. Versuchen wir allgemein, die Lösungen von
fed-Code einblenden
zu bestimmen, so erhalten wir durch umstellen
fed-Code einblenden
was eine quadratische Gleichung in cos(alpha) ist. Diese hat genau dann noch eine Lösung, wenn die Diskriminante gleich 0 ist, was gleichbedeutend ist mit fed-Code einblenden . Setzt man für a und b die obigen Ausdrücke ein, so erhält man
fed-Code einblenden
mit der einzigen positiven Lösung N=5,079833. Für dieses N ist alpha=11,33 Grad.

Zusammengefasst ergibt sich: Für N=5,079833 hat falls der Läufer die Strategie S_N verfolgt der Schwimmer noch die einzige Fluchtstrategie, daß er unter einem Winkel von etwa 11 Grad vom Punkt ( 1/2 | (N+1)/2N ) gerade zum Rand schwimmt. Für n < N nimmt die Zahl der Fluchtwege zu, für n > N gibt es keine Fluchtwege mehr.

Was ist nun, wenn der Schwimmer das innere Quadrat an einem anderen Punkt als den dem Läufer gegenüberliegenden Punkt verläßt? Dann kann man dieselbe Methode verwenden und ausrechnen, daß dem Läufer schon eine geringere Geschwindigkeit reicht, das aus Sicht des Schwimmers also nicht optimal ist, und er somit den Mittelpunkt wählen wird. Der Läufer kann ihm diesen aufzwingen.

Was ist, wenn sich der Läufer dazu hinreißen läßt, die Eckpunkt-Startstrategie zuzulassen? Dann läßt sich wieder dieselbe Methode verwenden, aber es kommt raus, daß der Läufer nun N=5,90... braucht, um den Schwimmer abzufangen, falls sich dieser optimal verhält. Das ist aus seiner Sicht natürlich schlechter, also wird er es nicht tun, stattdessen den Mittelpunkt wählen, und damit den Schwimmer zwingen, ebenfalls von einem Seitenmittelpunkt zu starten.
(Edit: Dieser Absatz stimmt nicht, da für die Eckpunkte doch eine Nebenbedingung durch die Diagonale gegeben wird. Es kommt aber jedenfalls ein größeres N raus, siehe die früher besprochene DGL-Methode, und damit wird der Läufer diese Startbedingung nicht zulassen.)

Das war jetzt alles ziemlich lang. Ich denke der zentralste Gedanke des ganzen war, daß der Weg zum Rand in Phase II, den es bei maximalem N noch gibt, eine Strecke ist, und keine Kurve, wie wir bisher vermutet haben. Dann ist der Rest nicht schwer auszurechnen.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.65 begonnen.]
[ Nachricht wurde editiert von Realshaggy am 23.03.2008 18:26:22 ]



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trunx
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.68, eingetragen 2008-03-23


@realshaggy:

kannst du zu deiner Strategie auch ein Bild machen? Das wäre schön smile

bye trunx



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Realshaggy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.69, eingetragen 2008-03-23


Ja, wenn ich wüßte wie, würde ich ein Bild malen.

Noch eine Bemerkung: Die Sache, daß es keine Nebenbedingung durch die Diagonale gibt, ziehe ich für den Fall der Eckpunkte als Startpositionen zurück, in dem Fall ist das tatsächlich einschränkend. Für den Seitenmittelpunkt stimmt es allerdings, und wie beschrieben, kann der Läufer diese Startposition erzwingen.

Edit: Tolles Paint-Gekritzel oben hinzugefügt. Wehe es lacht wer!
[ Nachricht wurde editiert von Realshaggy am 23.03.2008 18:12:02 ]



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sastra
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.70, eingetragen 2008-03-23


Hi Leute

Noch eine kleine Idee:

Vielleicht lässt sich ja noch etwas verbessern, wenn wir das
"konzentrische Quadrat" um 45 Grad drehen....

An der Umlaufszeit des Schwimmers ändert das ja nichts.
Aber die Ausgangslage nach dem verlassen dieses Bereichs
sähe dann ganz anders aus...

Gruss, Sastra

PS: Es gäbe da noch viele Variationsmöglichkeiten, was diesen Bereich angeht



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Animus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.71, eingetragen 2008-03-23


Hallo Realshaggy!

fed-Code einblenden

LG

Animus


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.69 begonnen.]



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Realshaggy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.72, eingetragen 2008-03-23


Ja du scheinst recht zu haben, ich muß aber nochmal genauer drüber nachdenken. Dieser Fehler tritt deshalb auf, weil wir in allen Skizzen wahrscheinlich das innere Quadrat ziemlich groß zeichnen. Damit erscheint es uns nicht logisch, diesen Weg nach oben zu gehen, weil er viel viel länger zu sein schein, als der zum rechten Rand. Da die Seitenlänge des inneren Quadrates aber in Wirklichkeit sehr klein ist, lohnt es sich doch.

Nach welcher Strategie verfährt denn bei dir der Läufer? Weil bei mir würde er nicht umkehren. Der Schwimmer geht um epsilon nach rechts, danach muß der Läufer den Weg nach unten einschlagen, und wird diesen auch nicht mehr verlassen, also zumindest bei der bei mir beschriebenen Strategie dreht er nicht mehr um. Das ganze führt am Ende wieder dazu, daß sowohl er als auch der Schwimmer in einer Ecke sitzen, also ist das mit der erzwungenen Startposition auch mal wieder wiederlegt.

Wie auch immer, ich bin echt gespannt wie eine wasserdichte (und vielleicht auch noch elegante) Lösung dieser Aufgabe aussieht.
[ Nachricht wurde editiert von Realshaggy am 23.03.2008 19:38:16 ]



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HansHaas
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.73, eingetragen 2008-03-23


Hi,

Ich denke, wir konzentrieren uns immer noch zu wenig auf den Schwimmer. \EDIT: Danke @Buri: Ich meine netürlich den Läufer
Die letzten Ansätze liefern für den Schwimmer eine Strategie, zu entkommen, egal was der Läufer macht, und berechnen das maximale n mit dem diese Strategie funktioniert. Man nähert sich damit N von unten.

Allerdings hat bisher niemand versucht, sich N von oben zu nähern, sprich: Für einzelne Läuferstrategien einfach mal das minimale n zu bestimmen, mit dem der Läufer den Schwimmer sicher kriegt, egal was dieser macht.
Diesen Ansatz paralell zu verfolgen hätte zwei Vorteile:

(1) Man sichert die andere Arbeit ab. Wenn man N < 6 zeigen könnte, ist der Fall, dass man über N > 5,9 diskutiert und N in Wirklichkeit 9 ist, auszuschließen.

(2) Es liefert die m.E. praktikabelste Methode, die Optimalität von Strategien zu beweisen: Liefern eine Schwimmer- und eine Läuferstrategie die gleichen Schranken, so ist ihre Optimalität gezeigt.

Die wohl einfachste Schwimmerstrategie scheint mir zu sein: Steure den  Punkt des Quadrats an, dem der Schwimmer am nächsten ist. Gibt es zwei, geh zur Ecke zwischen den beiden Seiten (oder bleib stehen, wenn der Schwimmer grade in der Mitte des Quadrates ist).
Ich habe leider keine Zeit mehr, dies weiterzuentwickeln, geben aber auf jeden Fall mal den Tipp N < 8 ab smile

Gruß,
Hans

[ Nachricht wurde editiert von HansHaas am 24.03.2008 11:12:46 ]



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sastra
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.74, eingetragen 2008-03-23


Hi Leute

Je länger ich darüber nachdenke, desto mehr habe ich das Gefühl,
dass die Ausgangssituation "Läufer in einer Ecke und Schwimmer in der gegenüberliegenden Ecke des konzentrischen Quadrates"
angenommen werden kann:

Nehmen wir mal an, Läufer und Schwimmer befinden sich jeweils in
den Seitenmitten der beiden Quadrate gegenüber.
Dann kann der Schwimmer eine infitesimal kleine Strecke zum nächsten
Rand schwimmen (also auf der Verbindunslinie Läufer-Mittelpunkt)

Sobald sich der Läufer in Bewegung setzt (und dies tut er am besten
sofort), bewegt sich der Schwimmer auf dem konzentrischen Quadrat
in die entgegengesetzte Seite. Umkehren sollte sich für den Läufer nicht lohnen. Das heisst aber, wenn der Läufer in der ersten Ecke
angekommen ist, befindet sich der Schwimmer ebenfalls in der Ecke
des konzentrischen Quadrates (mindestens "fast").

Ok, das war jetzt keine "mathematische" Argumentation...

Meiner Meinung nach ist es für den Läufer am besten, wenn er sich für
eine Richtung entscheidet und dann (ohne umzudrehen) losläuft, um
den Winkel LMS (Läufer-Mittelpunkt-Schwimmer) zu minimieren.

Nehmen wir mal an, der Läufer befindet sich in der linken oberen Ecke und der Schwimmer in der rechten unteren Ecke seines Quadrates.
Falls sich der Läufer entscheidet im Uhrzeigersinn zu laufen,
beseteht die Strategie des Schwimmers besteht dann darin,
sich auf einer geraden nach unten links zu bewegen.
Es gibt dafür einen optimalen Winkel, der aber von N abhängig ist.


Falls ich mich nicht verrechnet habe
(Numerisch mit dem Taschenrechner angenähert)

erhalte ich N = 6.162

Gruss, Sastra

PS: Alles ohne Gewähr :-)





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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.75, eingetragen 2008-03-23


2008-03-23 19:39 - HansHaas schreibt:
Ich denke, wir konzentrieren uns immer noch zu wenig auf den Schwimmer.
Hi HansHaas,
den Läufer meinst du wohl, nicht?
Gruß Buri



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Realshaggy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.76, eingetragen 2008-03-23


Das ist eine der schlechteren Strategien, weil sie dem Schwimmer immer ermöglicht zu entkommen, egal wie schnell der Läufer ist. Ein Zickzack-Muster um die Diagonale führt dazu, daß der Läufer beliebig oft seine Richtung wechselt.


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.73 begonnen.]



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Morris
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.77, eingetragen 2008-03-23


2008-03-23 20:46 - sastra schreibt:
Sobald sich der Läufer in Bewegung setzt (und dies tut er am besten
sofort), bewegt sich der Schwimmer auf dem konzentrischen Quadrat
in die entgegengesetzte Seite. Umkehren sollte sich für den Läufer nicht lohnen.

Ohne jetzt 100%ig auf dem Laufenden zu sein: Warum lohnt sich das Umkehren für den Läufer nicht? Immerhin macht er Deine Argumentation damit kaputt und verliert sozusagen nur infinitesimal. Intuitiv würde ich sagen: Das Problem an Deiner Argumentation ist hier, daß bei Stillstand (bzw. alle kehren wieder um) der Läufer gewinnt.

Gruß Morris



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.74 begonnen.]



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sastra
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.78, eingetragen 2008-03-23


@Morris:

Vielleicht sollte ich nicht "infinitesimal" argumentieren.

Nehmen wir an, der Läufer befindet sich im Norden, Seitenmitte und
der Schwimmer im Süden, Seitenmitte.

Der Schwimmer bewegt sich nun eine kleine Strecke, sagen wir d, nach
Unten. Inzwischen bewegt sich der Läufer (zum Beispiel nach Links).
Nun bewegt sich der Schwimmer nach Rechts.
Der Schwimmer wird (je nach Länge der Strecke d) ziemlich genau dann
die untere rechte Ecke seines Quadrates erreichen, wenn der Läufer
die linke obere Ecke passiert hat.
Also "fast" die gewünschte Ausgangsstellung.

Schon klar, dass dies noch nichts beweist...
(Ist halt ein Bauchgefühl)
Die Frage bleibt, wie dieses d zu wählen ist...

Da diese Frage für mich sowieso zu schwierig ist, habe ich einfach
d=0 gesetzt :-)

Gruss


Edit:
Muss meine 6.162 zurückziehen:
Habe meine Gleichungen nun mit Hilfe eins CAS-Systems gelöst und
erhalte den "bekannten" Wert 5.90143



[ Nachricht wurde editiert von sastra am 24.03.2008 00:08:34 ]



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Realshaggy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.79, eingetragen 2008-03-24


Ich hab mich nochmal mit dem Problem beschäftigt, daß beide in gegenüberliegenden Ecken starten, wobei der Läufer von links unten nach oben läuft. Wir hatten gesagt, daß dann der Schwimmer nach rechts oben schwimmt, und zwar auf einer Kurve, die langsam von der Diagonalen abweicht, so daß er sich so lange wie möglich immer auf der Geraden durch Läufer und Mittelpunkt bewegt. Wie diese Kurve aussieht, wurde versucht über eine Differentialgleichung herauszubekommen, aber wir sind nicht zum Ziel gelangt.

Mich hat interessiert: Wenn der Schwimmer so eine Kurve schwimmt, unter welchem Winkel kann er dann starten, ohne die Nebenbedingung (Überquerung der Diagonalen) zu verletzten? Was rauskommt  ist, das der Anstieg der Kurve im Startpunkt 0 ist, daß heißt er startet auf jeden Fall in Richtung gerade nach rechts (und nicht wie wir dachten in Richtung rechts oben, was der Diagonale entspricht).

Hier die Rechnung:

Wir starten zum Zeitpunkt epsilon und wollen auf der neuen Geraden durch Läufer und Mittelpunkt zu diesem Zeitpunkt die Punkt finden, die vom Startpunkt des Schwimmers den Abstand epsilon haben.

Die erste Gleichung ist die der Geraden, die zweite fordert das der Abstand epsilon ist.

sol:=solve({y=(1-2*N*e)*x+N*e,((N+1)/(2*N)-x)^2+((N+1)/(2*N)-y)^2=e^2},{x,y});

                  N + 1            -N - 1 + 2 N e
  sol := {x = 1/2 -----, y = - 1/2 --------------}, {
                    N                    N

                   2  3      2        2  2
                2 e  N  - 2 N  e - 2 e  N  + N + 1
        x = 1/2 ----------------------------------,
                                       2  2
                     N (1 - 2 N e + 2 e  N )

                   2  3      2        2  2              3  3
                2 e  N  - 2 N  e - 2 e  N  + N + 1 + 4 N  e  - 2 N e
        y = 1/2 ----------------------------------------------------}
                                                2  2
                              N (1 - 2 N e + 2 e  N )


Wie zu erwarten war, liegt die erste Lösung auf der rechten Seite des inneren Quadrates, das ist die die der Schwimmer erreicht, wenn er senkrecht nach unten schwimmt. Uns interessiert genau die andere. Wir bilden den Differenzenquotienten Delta y/ Delta x zum Zeitpunkt epsilon:

(subs(sol[2],y)-(N+1)/(2*N)) / (subs(sol[2],x)-(N+1)/(2*N));

  /       2  3      2        2  2              3  3
  |    2 e  N  - 2 N  e - 2 e  N  + N + 1 + 4 N  e  - 2 N e
  |1/2 ----------------------------------------------------
  |                                    2  2
  \                  N (1 - 2 N e + 2 e  N )

                    \     /
               N + 1|   / |
         - 1/2 -----|  /  |
                 N  | /   |
                    /     \

               2  3      2        2  2                    \
            2 e  N  - 2 N  e - 2 e  N  + N + 1       N + 1|
        1/2 ---------------------------------- - 1/2 -----|
                                   2  2                N  |
                 N (1 - 2 N e + 2 e  N )                  /


und bekommen mit simplify etwas überraschend einfaches heraus:

simplify(%);
                             (-1 + N e) e N
                          -2 --------------
                               -1 + 2 N e

Der Grenzwert dieses Ausdrucks ist der Anstieg der Kurve, die wir verfolgen wollen, im Startpunkt:

limit(%,e=0);
                                  0
[ Nachricht wurde editiert von Realshaggy am 24.03.2008 01:28:27 ]



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