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Matroids Matheplanet Forum Index » 7. Matheplanet Challenge » Aufgabe 10
Thema eröffnet 2008-03-19 10:31 von Kay_S

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Kein bestimmter Bereich J Aufgabe 10
Wauzi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.80, eingetragen 2008-03-24


Hallo,
ich habe mittlerweile auch an den Taktiken herumgefeilt.
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[Die Antwort wurde nach Beitrag No.78 begonnen.]



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Realshaggy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.81, eingetragen 2008-03-24


Und noch einige Rechnungen, die mich am Ende ziemlich genau zu dem geführt haben,  was Sastra geschrieben hat. Wir legen eine Strategie für den Fänger fest, und berechnen das maximale N, so daß der Schwimmer noch eine Fluchtstrategie hat. Das bedeutet wieder, daß wir eine obere Schranke berechnen, da wir theoretisch noch die Werte von N über alle Strategien des Läufers minimieren müßten.

Startposition: entgegengesetzte Ecken

Strategie des Fängers:
* Bleibe stehen, solange der Schwimmer innerhalb des inneren Quadrats ist
* Verläßt der Schwimmer das "innere Quadrat", so laufe los in Richtung des Projektionspunkt des Schwimmers auf die ihm nächstliegende Seite, aber wechsle deine Richtung nicht, solange der Schwimmer sich nicht wieder ins innere Quadrat zurückzieht, in diesem Fall bleibe einfach wieder stehen. (Wenn man den Projektionspunkt erreicht, hat man für Geschwindigkeiten von grob geschätzt N>2.5 eh gewonnen.)

Was die Rechnung in diesem Fall ziemlich einfach macht, ist, daß der Schwimmer nicht viel "tricksen" kann, indem er den Läufer dauend zum umkehren zwingt.

Mit den Methoden die ich in meinem langen Post heute beschrieben habe, bekommt man raus, daß die Kurve, die der Schwimmer nun nimmt eine Strecke vom Eckpunkt direkt zum Rand sein muß, und wie man für gegebenes N den optimalen Winkel berechnet, und wie man das N ausrechnet, so daß es gerade noch einen solchen Winkel gibt. Ich weiß nicht ob Strasa eine andere Methode verwendet hat, aber ich komme auf dieselben N=5,90144.

Wie schon erwähnt ist das eine obere Schranke.



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sastra
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.82, eingetragen 2008-03-24


Hi Leute

Ich versuche das ganze mal mit einer Skizze zu erläutern.

Bild

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Ich hoffe, das war einigermassen verständlich...

Gruss, Sastra

[ Nachricht wurde editiert von sastra am 24.03.2008 09:46:46 ]



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HansHaas
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.83, eingetragen 2008-03-24


Hi Leute,

Sastra geht davon aus, dass Läufer und Schwimmer in der Ecke ihres Quadrates stehen, Realshaggy hat jedoch den gleichen Wert berechnet für den Fall, dass sie auf dem Mittelpunkt der entsprechenden Quadratseite stehen, wie kann das sein?

@Realshaggy: Dein N ist eine obere Schranke unter der Bedingung, dass beide von entgegengesetzten Ecken starten. Damit schränkst du aber auch die Schwimmerstrategie ein, oder?



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Realshaggy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.84, eingetragen 2008-03-24


Nein, bei mir ist das auch das N im Fall der Ecken als Startpunkte, und Sastra macht genau dieselbe Rechnung wie ich, außer das er den Satz des Pythagoras statt Trigonometrie verwendet. Aber das Prinzip, den Parameter zu bestimmen, bei dem eine Gleichung gerade noch eine LÖsung besitzt, ist dasselbe. Die Berechnung für die Mittelpunkte war bei mir fehlerhaft wie Animus erklärt hat.

Und du kannst dir überlegen, daß das die Schwimmerstrategien nicht einschränkt. Stell dir vor, der Schwimmer würde bei dieser Läuferstrategie das Quadrat an einem anderen Punkt als der gegenüberliegenden Ecke verlassen. Wir betrachten das N, bei dem es gerade noch eine Fluchtstrategie gibt und den Teil der Strecke, in dem er NICHT mehr in das innere Quadrat zurückkehrt. Dann kann man wieder folgern, daß die Strecke des Schwimmers eine Gerade ist, und in welche Richtung diese Gerade zeigt. Dann kannst du ausrechnen, daß er damit schon bei kleinerem N scheitert.
[ Nachricht wurde editiert von Realshaggy am 24.03.2008 13:21:26 ]



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Realshaggy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.85, eingetragen 2008-03-24


Noch etwas zu dem vieldiskutierten Fall und zum Vergleich zweier Taktiken des Läufers

Startpunkt: Eckpunkte

Läufertaktik I: Teile das Quadrat durch die Gerade durch Läufer und Mittelpunkt und bewege dich in Richtung des Teils in dem sich der Läufer befindet.

Läufertaktik II: Immer eine Richtung, sobald das innere Quadrat verlassen wurde. (siehe die letzten Posts von Sastra und mir)

Es wurde davon ausgegangen, daß der Schwimmer bei Läufertaktik I nach der Taktik verfahren sollte: "Bleibe solange wie möglich auf der Geraden durch Läufer und Mittelpunkt". (Das war die diskutierte Differentialgleichungsmethode.) Bei dieser Taktik wird der Läufer niemals seine Richtung wechseln. Es gilt dann genau eine der folgenden beiden Aussagen:

1.) Dies ist die optimale Schwimmertaktik. Nimm das maximale N von Läufertaktik II. Dann gibt es genau noch einen gerade Weg zum Rand bei dem sich ein Läufer, der seine Richtung nicht wechselt, und der Schwimmer geradeso erreichen. Das heißt schwimmt der Schwimmer auf einem Teilstück auf einer Kurve zum Rand, so wird das Verhältnis von Laufstrecke zu Schwimmstrecke kleiner. Das wiederum heißt, daß ihn der Läufer mit Taktik I sicher erreicht (sicher = er würde ihn auch für N-epsilon erreichen falls epsilon genügend klein). Damit ist Läufertaktik I echt besser als Läufertaktik II.


2.) Dies ist nicht die optimale Schwimmertaktik. Damit wären die bisherigen Überlegungen zu der Differentialgleichung hinfällig, weil der optimale Weg des Schwimmers ganz anders aussieht.



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HansHaas
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.86, eingetragen 2008-03-24


Hi,

stimmt, ich hatte übersehen, dass dein Wert für Startpunkt = Seitenmittelpunkt doch deutlich kleiner war.
Außerdem ist es für den Schwimmer tatsächlich optimal, von der Quadratecke zu starten, damit ist dein Wert scheinbar wirklich eine (gute) obere Schranke. Sehr gut!

\EDIT: Allerdings ist diese obere Schranke m.E. nicht zu erreichen. Muss mal schnell meine Idee durchrechnen, werde gleich wieder posten.

Gruß,
Hans
[ Nachricht wurde editiert von HansHaas am 24.03.2008 14:42:49 ]



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HansHaas
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.87, eingetragen 2008-03-24


Hi,

hier meine Überlegung, die die obere Schrake etwas drücken sollte:
Für den Schwimmer ist die von sastra und realshaggy durchgerechnete Eckpunkt-Eckpunkt-Konstellation beim Verlassen des Quadrates optimal.
Das heißt aber im Umkehrschluss, dass sie es für den Läufer nicht ist, er wird nicht auf der Ecke stehen bleiben sondern eine Seitenmitte ansteuern, um dort darauf zu warten, dass der Schwimmer sein Quadrat verlässt.
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Zusammenfassend:
Der Läufer wird die Eckpunkt-Eckpunkt-Konstellation so nicht zulassen und sich zu Beginn auf eine Seitenmitte stellen, damit ist es für den Schwimmer auch nicht mehr optimal, vom Eckpunkt des Quadrats zu starten.

Gruß,
Hans
[ Nachricht wurde editiert von HansHaas am 24.03.2008 15:22:02 ]



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trunx
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.88, eingetragen 2008-03-24


@sastra, realshaggy: ich glaube, wie gesagt, dass sich zwar Positionen erreichen lassen, in denen der Schwimmer auf einem inneren Quadrat bewegt, aber die Bedingung für die Größe an dieses Quadrat entspricht nicht der optimalen Strategie für den Läufer.

ansonsten: ich habe sehr wohl die DGL nicht nur angegeben (die korrigierte Variante - siehe Beitrag 48), sondern auch eine Lösung wink und ich habe mittlerweile auch die Bogenlänge dieses Stücks ausgerechnet (vom Extrempunkt xE zur Ecke des Quadrats - Abstand der Seiten der Quadrate ist d), was wie sich herausstellte nicht erforderlich ist. Dennoch für alle die dies wissen wollen:

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@wauzi: deine Strategie habe ich leider auch nicht ganz verstanden - kannst du vllt dazu ein Bild posten?

bye trunx



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trunx
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.89, eingetragen 2008-03-24


achso, was fehlt ist eine DGL für die Kurve von xE zum Beckenrand, da habe ich bisher nur eine gerade Linie angenommen.

Im übrigen verbessert sich n durch diese Rechnungen mein Wert aus Beitrag 13 auf N=4,80526.. , die fehlende Kurve würde diesen Wert nur unwesentlich verbessern, s.d. diese Strategie (also aus Beitrag 13) nicht weiter in Frage kommt.

bye trunx



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Realshaggy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.90, eingetragen 2008-03-24


2008-03-24 15:15 - HansHaas schreibt:


Zusammenfassend:
Der Läufer wird die Eckpunkt-Eckpunkt-Konstellation so nicht zulassen und sich zu Beginn auf eine Seitenmitte stellen, damit ist es für den Schwimmer auch nicht mehr optimal, vom Eckpunkt des Quadrats zu starten.


Das habe ich auch lange Zeit gedacht, aber es ist ein Irrtum. Überlege dir, was der Läufer macht, wenn der Schwimmer einen Schritt um epsilon von seiner Quadratseite nach außen wegmacht, und anschließend seine Bewegungsrichtung um 90 Grad dreht (also sich wieder parallel zu einer der Seiten des inneren Quadrates bewegt). Das ganze läuft dann wieder auf die "Eckpunkt-Eckpunkt"-Situation zu.

Wie schon erwähnt, ein Grund dafür, daß wir immer solche anschaulichen Fehler machen ist, daß wir uns das innere Quadrat viel zu groß vorstellen, und damit davon ausgehen, daß irgendein Weg zur nächstliegenden Seite schon der kürzeste sein wird. In Wirklichkeit hat es aber bei allen Strategien, die wir im Augenblick besprechen, eine Seitenlänge von < 1/5
[ Nachricht wurde editiert von Realshaggy am 24.03.2008 17:04:23 ]



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trunx
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.91, eingetragen 2008-03-24


Hallo,

ich habe noch ein wenig an der √26 - Variante herum gerechnet und leider feststellen müssen, dass dabei der Schnittpunkt D aus meiner Abbildung (Beitrag 66) mit M zusammenfällt :-( - ich denke, dass damit diese Variante hinfällig wird...

bye trunx



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sastra
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.92, eingetragen 2008-03-24


Hi Leute

Mir ist immer noch etwas unwohl, da ich noch nicht ganz einsehe,
wieso wir annehmen können, dass sich die beiden nach Phase 1 in den
Ecken ihrer Quadrate aufhalten.

Folgender Einwand:

Nehmen wir an, der Läufer befindet sich in der linken Seitenmitte,
der Schwimmer dementsprechend in der rechten Seitenmitte "seines"
Quadrates.
Mein Argument war immer: "Wenn sich der Schwimmer nun nach rechts bewegt, wird sich der Läufer sofort für eine Richtung entscheiden"
Das muss aber nicht sein...
Wenn sich der Schwimmer nach rechts zum Beckenrand bewegt,
muss der Läufer zunächst mal gar nichts tun.
Erst bei einem gewissen Mindestabstand s sollte der Läufer starten.
Je weiter der Schwimmer sich von seinem Quadrat nach rechts entfernt,
desto grösser wird dann aber sein Weg zum unteren Beckenrand...

Oje oje, ich glaube, wir sind noch nirgends... :-)

Gruss, Sastra







[Die Antwort wurde nach Beitrag No.90 begonnen.]



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HansHaas
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.93, eingetragen 2008-03-24


2008-03-24 15:41 - trunx schreibt:
ich glaube, wie gesagt, dass sich zwar Positionen erreichen lassen, in denen der Schwimmer auf einem inneren Quadrat bewegt, aber die Bedingung für die Größe an dieses Quadrat entspricht nicht der optimalen Strategie für den Läufer.

Hi trunx,

Wie kommst du darauf? Innerhalb des inneren Quadrates kann der Schwimmer eine höhere Winkelgeschwindigkeit als die des Läufers erreichen, und kann sich damit auf der dem Läufer abgewandeten Seite des Quadrates irgendwo plazieren.
Dass sich der Läufer auf einem Eckpunkt befindet, wenn der Schwimmer dieses Quadrat verlässt dürfen wir wohl nicht annehmen.

Meines Erachtens gelangen wir allmählich zu den optimalen Strategien:
Der Schwimmer muss auf die dem Läufer abgewandte Seite des kleinen Quadrats. Da das Verhältnis der Quadratseiten dem der Geschwindigkeiten entspricht, kann der Läufer inziwschen seine Seitenmitte erreichen. Dann ist es für den Schwimmer optimal, das kleine Quadrat auf der Gegenüberliegenden Seitenmitte zu verlassen (dort ist der Abstand des nächsten Randpunktes zum Läufer maximal), das größte n für das diese Strategie funktioniert, gewinnt man durch die Gleichung aus Beitrag 87.

Der einzige Spielraum der m.E. oben noch besteht, ist, dass sich der Läufer nicht genau in der Seitenmitte postiert, sondern sich irgendwo auf der Seite so zu bewegen, dass der Abstand zum dem Schwimmer nächstgelegenem Randpunkt nie 2 wird. Wenn wir das noch mit einbeziehen, müssten wir den Wert für N doch berechnen können, oder verhält sich irgendwo wer nicht optimal?

Gruß,
Hans


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.89 begonnen.]



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HansHaas
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.94, eingetragen 2008-03-24


Hi,

@realsaggy, sastra
Ich denke der Läufer sollte genau so starten, dass er den Schwimmer auf jeden Fall erwischt, und zwar genau erwischt (oder halt isn Quadrat zurücktreibt). Dann funktioniert die Strategie von realshaggy nicht mehr: Zum Zeitpunkt, an dem der Läufer reagiert, bräuchte der Schwimmer mehr Zeit zu seinem Eckpunkt als der Läufer zu seinem (Dreiecksungleichung)

Gruß,
Hans



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sastra
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.95, eingetragen 2008-03-24


@Hans:

Das Problem ist, dass ich (falls richtig gerechnet) für
N einen Wert von 5.0798 erhalte, wenn ich die Gleichung
aus Beitrag 87 verwende...

Die Frage ist nun, ob sich der Schwimmer nicht optimaler verhält,
wenn der zunächst die Rückwand ansteuert und an einem bestimmten
Punkt bevor der Läufer starten muss selber ein "Manöver" einleitet

Es stellt sich vielleicht nun auch die Frage, ob es nicht besser wäre,
wir drehen das kontentrische Quadrat um 45 Grad...

Ich erhalte auf diese Weise Werte, die deutlich grösser sind als
5.0798... (im Bereich von 5.5)

Gruss, Sastra



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Realshaggy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.96, eingetragen 2008-03-24


Nochmal was zur allgemeinen Beweisstrategie, die vielleicht hilft wieder etwas zu differenzieren, was wir gerade machen. Simultan sowohl alle Läufer als auch alle Schwimmerstrategien zu beachten ist irgendwie sehr unhandlich.

Wir haben eine obere Schranke S, wenn wir für dieses S eine Läuferstrategie beschreiben können, in der sich der Läufer nie schneller als S bewegt, und die alle überhaupt möglichen Schwimmerstrategien schlägt. Ein Wert von dem wir glaube ich beweisen können, daß er eine obere Schranke ist, ist S=5,9014. N ist das Infimum über die Menge der S, für die eine solche Läuferstrategie existiert.

Wir haben eine untere Schranke s, wenn wir eine Schwimmerstrategie beschreiben können, die alle überhaupt möglichen Läuferstrategien mit Maximalgeschwindigkeit s schlägt. N ist das Supremum über die Menge der s für die eine solche Schwimmerstrategie existiert.


Ich habe mich mal wieder daran versucht solche echten unteren Schranken zu finden. So sehr ich mich auch bemühe, ich finde keine über s=4.321, von der ich mir wirklich sicher sein kann, beweisen zu können, daß sie stimmt.

Damit habe ich immer noch eine ziemlich große Lücke.



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trunx
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.97, eingetragen 2008-03-24


@hans und andere: das mit der Winkelgeschwindigkeit ist zwar korrekt, aber es gibt bessere Strategien für den Läufer als dem Schwimmer hinterher zu rennen.

Ich denke, dass es im Inneren einen Bereich gibt - dessen genaue Form wir noch nicht kennen - begrenzt durch die Menge aller Positionen die von Läufer und Schwimmer erreicht werden können und von denen aus jede weitere Strategie zum selben N führt. Dass dies ein Quadrat oder ein gedrehtes Quadrat zudem mit den Bedingungen aus den Winkelgeschwindigkeiten ist bis jetzt nur Vermutung. Aus diesem Grunde ist die Läuferperspektive wichtig - was kann der Läufer tolerieren?

bye trunx

[ Nachricht wurde editiert von trunx am 24.03.2008 19:15:50 ]



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HansHaas
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.98, eingetragen 2008-03-24


Hi trunx,

Betrachtet man den Bereich A, in dem der Schwimmer eine höhere Winkelgeschwindigkeit erreicht als der Läufer, erkennt man, dass der Schwimmer den dem Läufer gegenüberliegenden Rand des Bereichs erreichen kann, unabhängig davon, wie sich der Läufer bewegt.
A gewinnt man dadurch, dass man das Ausgangsquadrat mit Streckungsfaktor 1/N zentrisch staucht. Der einzige Stolperstein hierbei ist, dass der Läufer zeitenweise höhere Winkelgeschwindigkeiten als der Schwimmer erreicht (Wenn der Schwimmer sich im Eckenbereich des Quadrats aufhält und der Läufer auf der Seitenmitte), dies hat jedoch keinen Einfluss darauf, dass der Schwimmer obiges erzwingen kann, er muss sich nur auf einer Linie mit Läufer und Mittelpunkt aufhalten und kann sich dann dem Rand des Bereiches beliebig annähern.

@sastra: Wie zum Teufel willst du das Quadrat drehen? Das einzige was man machen könnte, wäre dem kleinen Quadrat einen Kreis einzubeschreiben, das wäred er Bereich in dem die Winkelgeschwindigkeit des Schwimmers immer höher als die des Läufers ist. Ich sehe aber nicht, was uns dabei weiterbringen könnte.

Zusammenfassend:
Der größte Bereich mit der Eigenschaft, dass der Schwimmer die dem Läufer diametral gegenüberliegende Bereichsgrenze _unabhängig_ von dessen Aktionen erreichen kann, ist obig beschreibenes konzentrisches Quadrat. Darum arbeiten wir ja die ganze Zeit damit.

Gruß,
Hans
[ Nachricht wurde editiert von HansHaas am 24.03.2008 20:29:54 ]



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sastra
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.99, eingetragen 2008-03-24


@Hans: Wieso sollte ich das kleine Quadrat nicht drehen können?

Es geht ja "nur" darum, einen Bereich zu finden, für dessen
Umrundung der Schwimmer weniger lang braucht, als der Läufer.
Wie dieser Bereich genau aussieht spielt sonst keine Rolle...

Gruss, Sastra

Edit: pielt sonst keine Rolle für mittlere Winkelgeschwindigkeit
[ Nachricht wurde editiert von sastra am 24.03.2008 20:35:53 ]



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Realshaggy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.100, eingetragen 2008-03-24


Doch. Sonst könntest du ja auch Berecihe konstruieren, die gegen den extremsten Fall gehen gehen, eine Linie mit der Länge 2/N. Da braucht der Schwimmer von einem Endpunkt und zurück auch dieselbe Zeit wie der Läufer einmal ums Becken. Aber diese Eigenschaft nützt dir überhaupt gar nichts.
[ Nachricht wurde editiert von Realshaggy am 24.03.2008 20:41:14 ]



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HansHaas
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.101, eingetragen 2008-03-24


Hi sastra,

Ok, hierin unterscheiden sich unsere Strategien: Ich suchte immer einen Bereich, bei dem der Schwimmer dem den Läufer diametral gegenüberliegenden Punkt erreichen kann, der maximal ist m.E. immer noch das "alte" kleine Quadrat.
Bei deinem Bereich hängt die Eigenschaft ja nur vom Umfang ab, warum nimmst du nicht gleich eine (angenäherte) Linie? Mir ist aber schleierhaft was das genau bringt, v.a. kann man nicht mehr annehmen, dass sich der Schwimmer gegenüber befindet, oder doch? Wie hast du dann dein N (~5,5) bestimmt?

Übrigens ist 5,09 eine untere Schranke.

Gruß,
Hans


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.99 begonnen.]



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Realshaggy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.102, eingetragen 2008-03-24


Kannst du bitte aufschreiben, welche Strategie exakt der Schwimmer verfolgt, um jedem Läufer mit Geschwindigkeit 5,09 zu entkommen? Oder  steht das shcon hier irgendwo, ich verlier nämlich langsam den Überblick.
[ Nachricht wurde editiert von Realshaggy am 24.03.2008 20:52:35 ]



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sastra
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.103, eingetragen 2008-03-24


@Hans:

Ja, so habe ich das damals (Beitrag 25) gemeint:
Es kommt nur auf den Umfang an.

Ich dachte halt damals, dass ein konzentrisches Quadrat für unsere
Zwecke optimal sei...

Vielleicht ist aber ein Kreis oder ein Quadrat um 45 grad gedreht
"optimaler" :-)

Ich verstehe Deine "Bereichsdefinition" übrigens nicht ganz:
Was meinst Du mit "maximal"?
(Nach Deiner Definition müssten wir doch einen Kreis nehmen?)

Gruss, Sastra



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.101 begonnen.]



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HansHaas
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.104, eingetragen 2008-03-24


Hi Realshaggy,

Ich hatte mal wieder einen bösen Fehler in meinen Überlegungen, demnach müsste die untere Schranke wohl doch niedriger sein.
Die Strategie war, auf einer Linie mit Läufer und Mittelpunkt zu schwimmen, bis man den Rand des Quadrats erreicht, und dann den Rand anzupeilen. Mein Denkfehler war, dass der Abstand zwischen Läufer und dem Schwimmers nächstem Beckenpunkt immer 2 sei, was leider nicht der Fall ist  frown

Tut mir Leid,
Hans


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.102 begonnen.]



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HansHaas
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.105, eingetragen 2008-03-24


Hi sastra,

Nein, der maximale Bereich ist kein Kreis, da die Winkelgeschwindigkeit des Läufers nicht konstant ist. Ziehe alle Geraden durch den Mittelpunkt und eine Läuferposition, dann muss Mittelpunkt-Schwimmer : Mittelpunkt-Läufer = 1 : N gelten, damit die Winkelgeschwindigkeiten gleich sind.
Man erhält also als Grenzlinie ein Quadrat.

Gute Nacht,
Hans
[ Nachricht wurde editiert von HansHaas am 24.03.2008 21:04:25 ]



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trunx
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.106, eingetragen 2008-03-24


@Hans: das mit der Stauchung und so weiter hatte ich schon verstanden, als dies sastra gepostet hat... der Punkt ist, dass es für den Läufer nicht die optimale Strategie ist, sich auf dieser Linie durch den Mittelpunkt zu bewegen und wie ein Kreisel dem Schwimmer hinterher zu rennen, wenn der seinerseits das kleinere Quadrat abschwimmt, er kann auch stehenbleiben bzw. umkehren usw. falls ihm das für die Folgestrategien des Schwimmers sinnvoll erscheint. Und genau aus diesem Grund wird die inneren Fläche von den Punkten begrenzt, für die alle Folgestrategien gleichwertig sind und ich sehe wie gesagt (noch) nicht, dass dies ein Quadrat ist oder eines dessen Abmessungen sich nur aus dem Geschwindigkeitsverhältnis ableitet ist...

bye trunx



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rocolo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.107, eingetragen 2008-03-24


Hallo,
dann will ich auch mal meinen Senf dazugeben... :)

Zunächst einmal muss ich sagen, dass das letzte Stück bis zum Rand geradlinig sein muss, da "kurz vor dem Ende" sicher ist, aus welcher Richtung der Läufer kommt und
wenn man eine Kurve nehmen würde, so wäre man mit der Strecke durch Anfangs- und Endpunkt sicherlich besser bedient.
(ich glaube dies wurde schon einmal erwähnt, jedoch ist es nicht ganz durchgedrungen)
Übrigens ist der optimale Abstand vom Lotfußpunkt als Streckenendpunkt b^2/s, wobei s der Abstand des Läufers vom Lotfußpunkt ist und b die Länge des Lotes (lässt recht einfach über Pythagoras und 1.Ableitung zeigen...). Die Richtung des Läufers ist damit klar...

Einer meiner ersten Gedanken war einen solchen Bereich A zu kontruieren, wie ihn HansHaas erwähnt hat.
Die Strategie sollte dann folgendermaßen sein:
1. Gehe zum Rand von A
2. Gehe solange auf dem Rand von A, bis man dem Läufer gegenüber steht
3. Gehe geradlinig zum Rand

Nun zu A:
1. der Umfang entspricht sicherlich 1/N, damit man einen Punkt gegenüber dem Läufer erreichen kann und der mfang möglichst groß wird
2. von jedem Punkt aus erreicht man mit dem Geschwindigkeitsverhältis N durch die günstigste Verbindung das Quadrat zu dem gleichen Zeitpunkt, wie der Läufer diese Stelle bei optimaler Strategie erreicht, wenn dieser von der ungünstigsten Position losgelaufen ist

Ich denke, wenn man ein solches A gefunden hat, so hat man gezeigt, dass es auch keine bessere Strategie geben kann, da der Schwimmer, wenn er wieder in A hineinschwimmt in ungünstigere Situationen kommt, in denen der Läufer nichts machen braucht/kann und damit außerhalb am schnellsten ins Ziel finden sollte.

Die Ausgangsposition seien nun so, dass der Schwimmer auf dem Rand von A ist und der Läufer gegenüber von dem Schwimmer ist, d.h. dass der Läufer sich in der schlechtesten Position zum Schwimmer befindet.
Wegen dieser Eigenschaft der Position, benötigt der Läufer zu dem Endpunkt(en) der Strecke(n) des Schwimmers die gleiche Zeit und damit kann der Schwimmer die Strategie wählen, die für ihn optimal ist, wenn der Läufer nur in eine Richtung laufen darf, denn wenn der Läufer umdreht, so kann der Schwimmer ebenfalls umdrehen (im schlimmsten Fall also eine Pattsituation) oder sich in eine bessere Position bringen (welches in den meisten Fällen/immer? möglich ist).

Deshalb muss der Läufer eigentlich wenn er in einer solchen ungünstigen Situation ist, immer in eine Richtung laufen, wenn der Schwimmer sich optimal zum Rand zu bewegt.

Nun ist das Problem, die Begrenzung von A zu finden und damit auch die ungünstigsten Positionen des Läufers.

Wenn sich der Schwimmer nah am Ufer befindet, so ist es klar, dass er geradlinig zu dem Punkt schwimmen sollte, der b^2/s (s=2) von dem Lotfußpunkt entfernt ist und bei dem der Schwimmer später ankommt.

Bild

Wenn man nun dies auch in den Ecken betrachtet, erkennt man evtl. irrtümlich, dass die Ecke darauf keinen Einfluss hat, da man einfach die Seite mit der kürzeren Entfernung nehmen sollte und dort genauso verfährt.
Dadurch würde man ein solches kleines Quadrat erhalten, wie ihr beschrieben habt.

Jedoch gibt es in den Ecken mehr Möglichkeiten:
So gibt es 4 lokale optimale Stellen (jeweils zwei pro Lotfußpunkt). Diese darf man jedoch nicht unabhängig voneinander betrachten, da man zum Beispiel die beiden äußeren als 2 Zielstrategien benutzen kann und der Läufer dann den längeren Weg um die Ecke nehmen müsste.

Bild

Ich hoffe ich habe mich etwas verständlich ausgedrückt (und ich entschuldige mich für die schlechte Qualität der Bilder)...es ist schon spät^^...Gute Nacht
rocolo




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Animus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.108, eingetragen 2008-03-24


Hallo zusammen!

Ich mache noch mal Werbung für meine Lösung N = 5.788593...
Ich habe den ganzen Tag Nach Widersprüchen gesucht und letztlich keine stichhaltigen Argumente dagegen gefunden.

Die Idee ist diese (ich probiers noch mal verständlicher):

Neben dem kleineren innerem Quadrat mit Kantenlänge 1/N=0.17275354736838, in dem wir die Opposition erzwingen können, können wir ein zweites inneres mit Kantenlänge 0.29843788128358 einzeichnen. Treffen wir dieses Quadrat in "Opposition" (sprich hier: symmetrischer Abstand zur Mittellinie) zum Läufer, so können wir direkt (Wahl der Schräge je nach Laufrichtung des Läufers) zur nächsten Seite Schwimmen.Es wären also nur 0.062842166957602 Einheiten zu überbrücken.

Ich gehe also erst mal davon aus, am Rand des inneren Quadrates auf der Mittellinie in genauer Opposition zum Läufer zu sein.
Bleibt der Läufer in der Mitte stehen, schwimme ich auf der Mittellinie weiter auf die nächste Seite zu.
 
Läuft er zu einer der Ecken, so schwimme ich genau entgegengesetzt (aber parallel) zu der in Laufrichtung am entferntesten Seite. Dreht er um, so schwimme ich wieder zur Mitte hin, nur leicht nach unten vesetzt und gewinne so weitere Nähe zur ursprünglich angestrebten Seite. Bleibt er stehen, so schwimme ich direkt auf diese Seite zu.

Läuft er dagegen bis über den Eckpunkt, so komme ich (aufgrund der geringen Größe der inneren Quadrate) schon in die Nähe der Diagonale. Läuft er bis zur Mitte der nächsten Seite weiter, erreiche ich schon den Bereich, in dem ich sicher die neu angestrebte Seite erreiche. Also muss der Läufer nun anhalten oder umkehren. Nun kann ich entweder sogar die günstige Diagonalenposition einnehmen oder zumindest beim Zurückschwimmen in leicht versetzten Winkel näher zur ursprünglich angetrebten Seite gelangen, ohne die ungefähre Opposition aufzugeben.

Dies wiederholt sich, bis ich das zweite Quadrat ereiche.
Auf den konkreten Wert von N komme ich, indem ich annehme, dass im Extrem das punktgenaue Erreichen der nahen Seite von der Mittelstellung aus mit dem gerade noch Abgefangenwerden bei Wahl der langen Strecke zur entfernteren Seite zusammen fallen muss.

(Rechnung siehe oben)

Falls ich einen Denkfehler mache, bin ich für Hinwiese dankbar! Falls der Ansatz einleuchtet, könnte man den konkreten Wert nachrechnen.

Animus


Tippfehler wurden korrigiert.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.106 begonnen.]
[ Nachricht wurde editiert von Animus am 25.03.2008 02:55:35 ]



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cow_gone_mad
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.109, eingetragen 2008-03-25


2008-03-24 23:09 - rocolo schreibt:
Zunächst einmal muss ich sagen, dass das letzte Stück bis zum Rand geradlinig sein muss, da "kurz vor dem Ende" sicher ist, aus welcher Richtung der Läufer kommt und

Hallo Rocolo smile

Erstmal herzlich willkommen auf dem Matheplaneten. smile

Ein sehr guter Punkt. Damit haben wir eine wohldefinierte Endphase!!!

Ich werde vielleicht heute abend, die noetige Arithmetik anstellen, wo das genau beginnt... wink

Liebe Gruesse,
cow_

P.S.: Sorry, das ich nichts anderes kommentiere. Diverse andere Projekte brauchen gerade viel Aufmerksamkeit. Ich bin gerade zum Beispiel dabei zum ersten Mal die Moebius Funktion zu verwenden (ausser Uebunsaufgaben).  wink  biggrin





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sastra
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.110, eingetragen 2008-03-25


Hi Animus

Ich glaube, dass ich nun Deine Strategie verstanden habe, auch wenn
ich nicht alles nachgerechnet habe.
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Gruss, Sastra



[ Nachricht wurde editiert von sastra am 25.03.2008 01:08:52 ]



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Realshaggy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.111, eingetragen 2008-03-25


Hallo rocolo,

das mit der gerade Strecke zum Rand habe ich in Beitrag 43 erwähnt, aber  da habe ich mich wohl nicht klar genug ausgedrückt.

Unabhängig davon bin ich mittlerweile deiner Meinung und der von sastra: Wir haben uns zu sehr an dem inneren Quadrat und seinen Größenverhältnissen festgebissen, was zu der riesigen Lücke. Aber: was nützt uns das Quadrat, wenn der Schwimmer auch außerhalb den Läufer zur Umkehr zwingen kann? Wir sollten versuchen einen Bereich zu konstruieren, so daß der Läufer innerhalb eine beliebige Strategie verwendet, sich jedoch außerhalb für eine Richtung entscheidet, dieser dann aber unbeirrbar mit maximaler Geschwindigkeit folgt, bis er die Seite erreicht hat, auf der sich der Lotfußpunkt des Schwimmers auf die ihm nächstliegende Seite befindet.


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.109 begonnen.]



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Wauzi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.112, eingetragen 2008-03-25


Hallo,
auch ich habe meinen Weg weiterverfolgt. Ich will mal versuchen, ihn zu beschreiben, eine Graphik ist leider momentan nicht machbar.
Bei mir ist der Pool ein Quadrat mit den Eckpunkten (+-1|+-1).
Der Läufer ist in (-1|-1) der Schwimmer in (0|0)

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Gruß Wauzi


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.109 begonnen.]
[ Nachricht wurde editiert von fed am 25.03.2008 01:34:18 ]



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Animus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.113, eingetragen 2008-03-25


Hallo Wauzi!

Meine Gegenstrategie als Läufer wäre. Er läuft bis (-1|0) und *wartet*. Wenn Du weiter bis etwa (0,25|-0,25) angekommen bist läuft er den kurzen Weg zur unteren Seite zurück und fängt Dich ab (eine Rückkehr zur Diagonalen klappt auch nicht mehr.
Wenn Du jetzt nach oben willst, kann er Dich auf dem langen Weg (-1|-1), (1|-1),(1|1) anfangen.
Daher halte ich 5,9 für zu hoch.

Animus



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cow_gone_mad
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.114, eingetragen 2008-03-25


Erstmal ohne Gewaehr, weil ich schon ziemlich erschoepft bin.

Mit a dem Abstand vom Schwimmer zu dem naechsten Punkt P auf einer Seite. Und mit l dem Abstand vom Laeufer zu dem Punkt P.

Kan der Schwimmer immer an Land schwimmen, wenn l/a > Sqrt[n^2 - 1] ist. Man erhaelt dies in dem man bemerkt, dass man haben muss l Cos[Phi] > a (n - Sin[Phi]) damit der Laeufer den Schwimmer nicht erreicht, und dann nach Phi optimiert.

Allerdings gibt das einem keine wirkliche Endzone auf die man hinarbeiten kann, sondern einen Kegel von moeglichen Konfigurationen.... wink

Liebe Gruesse,
cow_




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HansHaas
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.115, eingetragen 2008-03-25


Hi trunx,

2008-03-24 21:28 - trunx schreibt:
der Punkt ist, dass es für den Läufer nicht die optimale Strategie ist, sich auf dieser Linie durch den Mittelpunkt zu bewegen und wie ein Kreisel dem Schwimmer hinterher zu rennen, wenn der seinerseits das kleinere Quadrat abschwimmt, er kann auch stehenbleiben bzw. umkehren usw. falls ihm das für die Folgestrategien des Schwimmers sinnvoll erscheint.

irgendwie reden wir aneinander vorbei.
Ich meinte, nicht der Läufer reagiert auf den Schwimmer und bleibt auf der Gerade (was in der Tat nicht klug wäre), sondern der Schwimmer reagiert auf den Läufer!
Wegen der Bedingung mit der Winkelgeschwindigkeit kann er dies in dem beschreibenen Quadrat immer tun, ganz egal, was der Läufer macht.
Ich habe also nirgends eine Läuferstrategie erwähnt, geschweige denn behauptet, sie sei optimal.

Gruß,
Hans



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trunx
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.116, eingetragen 2008-03-25


Hallo,

an alle, die an der Idee des inneren Quadrats der Seitenlänge 1/n festhalten:

Bild

In der Endphase hin zur begehrten Eck-Eck-Position müssen von Läufer und Schwimmer die oben gezeichneten Positionen durchlaufen bzw. durchschwommen werden. Dabei ist o.B.d.A. der Schwimmer in Position A und schwimmt nach B und der Läufer entweder in D oder D'. Für keine dieser beiden Punkte ist es die beste Läufer-Strategie nach C zu laufen.

Dennoch kann eine Eck-Eck-Position angesteuert werden, verläßt zum Beispiel der Schimmer M auf einer Geraden mit Anstieg m und ändert dann seine Richtung auf eine Gerade mit Anstieg 1/m, dann schneidet seine Bahn eine Beckendiagonale - und unter best. Umständen ist es für den Läufer sinnvoll nach der Wende des Schwimmers umzukehren, s.d. am Ende dieses Manövers beide in den Ecken sind.

@wauzi: deine Strategie ist mir nun klar, aber sie ist leider nicht optimal :-) du sagst zwar, dass der Läufer o.B.d.A. in Richtung (-1,1) läuft, ich als Läufer würde aber in Richtung (1,-1) laufen...der Punkt ist, dass der Läufer alle Strategien des Schwimmers kennt und es für ihn keine Überraschungen gibt, sprich, wie willst du verhindern, dass der Läufer direkt auf die Stelle zuläuft, die der Schwimmer nach dem Hakenschlagen anstrebt? Gar nicht, es wird verhindert, dass der Schwimmer den Haken schlägt, also geradeaus weiter schwimmen muss und so suboptimal wird.

@animus: deine Idee klingt interessant, leider habe ich sie noch nicht ganz verstanden, kannst du ein Bild dazu machen? Das wäre schön :-)

bye trunx



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Wauzi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.117, eingetragen 2008-03-25


@trunx:
Der Schwimmer schwimmt solange auf der Diagonalen, bis sich der Läufer für eine Richtung entschieden hat. Nimmt er Deine Richtung, ändert sich die Strategie des Schwimmers in die entsprechende nur nach oben gespiegelt.

Das Argument des Stehenbleibens ist heftig, ich glaube aber, auch damit fertig zu werden. Allerdings weiß ich noch nicht, wie dabei der Einfluß auf das n ist.

Gruß Wauzi



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rocolo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.118, eingetragen 2008-03-25


Hallo,
an alle die eine optimale Lösung suchen und dann vielleicht auf das Quadrat kommen:

da meine Idee zwar vielversprechend für eine komplette Lösung aussieht, ich mir jedoch nicht ganz sicher bin (mögliche Fragen: "Könnte A bei meiner Konstruktion konkav werden?" (dann wäre die konvexe Hülle auf jeden Fall besser) oder "Ist es sinnvoll zu einer weiter entfernten Kante zu laufen?" oder "Ist die suboptimalste Läuferposition so einfach festzulegen?"), habe ich inzwischen versucht meine Beschreibungen exakter zu fassen.

Zunächst wollte ich dazu ein A konstruieren und daran die Eigenschaften erklären. Dies stellt sich jedoch nicht als trivial heraus.

Ich würde es nun vorerst so definieren:

Man nehme zu jedem Punkt des Schwimmers alle Paare von Strecken von diesem Punkt zum Rand und jeden Punkt auf dem Quadrat für den Läufer. Nun wählt der Läufer seine bessere Richtung (beim Optimum ist es egal welche er wählt) und der Schwimmer dazu den zugehörigen für ihn besten Weg.
Von diesen ganzen Möglichkeiten für jeden Punkt wählt man die, die für den Schwimmer am Besten ist und ordnet dem Schwimmerstartpunkt diese optimale Geschwindigkeit zu.

Alternativ würde ich dies noch etwas vereinfachen, da nach dieser Definition das Fortfahren schwieriger wäre. Ich würde mich auf die näheren Seiten zu dem Punkt für die Endpunkte der Strecken beschränken (ansonsten würde man bei sinnvollen (konvexen, symmetrischen) A bei 2 Strecken durch A hindurchlaufen und die anderen beiden schließe ich aus, da ich nicht denke, dass sie zum Ziel führen...und derzeit nur behindern-> später Nachprüfen!) und da man für den Läufer zwei gegenüberliegende Optima erhält, sollte man das von mir beschriebene schlechtere Optimum nimmt, da bei dem anderen Optimum der Läufer eine Rund um das Quadrat läuft und dies wohl nicht optimal sein kann.

Bild
Die Strecken mit den Zahlen 1 bis 8 skizzieren die optimalen Wege, welche natürlich von dem Startpunkt des Läufers abhängen und sich damit gegenseitig bedingen.
A und B sind die beiden optimalen Positionen wenn der Schwimmer sich 5 und 8 als Optionen wählt.
(bei alternativ wird also 2 und 3, 1 und 4 sowie B ausgeschlossen, bei 1 und 4 sollte man dies später nachprüfen, da dies in der Nähe von 1/2 zu Problemen führen kann)

Jedenfalls erhält man durch diese Definition zu jedem Punkt eine Geschwindigkeit. Zu diesen könnte man zur Veranschulichung eine Art "Höhenlinienbild" (gröhere Höhe aber hier eher für kleinere benötigte Geschwindigkeit) sich vorstellen, wobei A von einer Höhenlinie begrenzt wird.(übrigens sind diese alle stetig, da alle Bewegungen stetig sind und man im Prinzip 6 Möglichkeiten hat und davon sich die Minimale auswählt)

Nun ergibt sich aber die Frage, ob solche Höhenlinien so schön existieren, dass sie von der Mitte her abfallen und keine "weiteren Berge" bilden können. Denn dann wäre A in Teilflächen unterteilt. Dies kann man nicht (bzw. nicht trivial) ausschließen, wenn man meine zusätzlichen Voraussetzungen nicht macht.

Denn dadurch kann ich zeigen, dass wenn ich von einem Punkt zur nächsten Ecke gehe, die "Höhe" abfallen muss (sich auf der Verbindung zur Ecke zu befinden, ist wie eine Stauchung der Strecken bei dem Schwimmer, jedoch muss der Läufer wenn er auf der anderen Seite des Quadrates losläuft immernoch die ungestauchten Seiten ablaufen). Daraus folgt, dass es keine "Höhenlinie" gibt, die eine Fläche abgrenzt, die nicht den Mittelpunkt des Quadrates enthält.

Daraus folgt die Existenz eines zusammenhängenden A, welches nun nur noch durch die Konkavität (ich hoffe dies fällt durch die Definition raus) und durch eventuell andere solche Strecken, die mit einer Zahl kleiner 5 bezeichnet wurden, anfechtbar sind.

Diese Ausführung hilft jetzt bei dem Finden der Zahl nicht wesentlich weiter, jedoch sollte es zunächst erstmal den Standpunkt darstellen. Ich denke zwar, dass wir auf dem richtigen Weg sind, der Beweis jedoch wohl letztendlich nur durch den Rechner erbracht wird, da auch die Rechnung nicht ganz trivial ist.
Deswegen würde ich vorschlagen, sich nun darauf zu konzentrieren, das A durch Formeln zu beschreiben und dann den Wert zu berechnen.

Um A zu berechnen muss man also alle Kombinationen von den Strecken 5 bis 8 betrachten, zu ihnen den optimalen Punkt A finden und dann schauen für welche Kombination dies minimal notwendige Geschwindigkeiten ergibt.
Für jede Geschwindigkeit müsste so eine "Höhenlinie" entstehen.
Dann muss man sich nur noch die "Höhenlinie" finden, für welche die Geschwindigkeit zum Rand gleich der Geschwindigkeit ist, auf der "Höhenlinie" die gleiche Winkelgeschwindigkeit zu erreichen, wie man um dem Läufer zu folgen, benötigt.

Viele Grüße,
rocolo

EDIT:
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EDIT2:
Die Kombination 6 und 7 ist soweit ich weiß schlechter als 5 und 8.
Bei 5 und 6 sowie 7 und 8 ist die Variante besser, die das kleinere b besitzt.
Also ist noch 5 und 8 sowie 5 und 7 sowie 6 und 8 zu untersuchen.
Ein Problem, welches wir noch zu wenig betrachtet haben, ist die mögliche Unstetigkeit der optimalen Position des Läufers.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.116 begonnen.]
[ Nachricht wurde editiert von rocolo am 25.03.2008 18:28:07 ]
[ Nachricht wurde editiert von fed am 26.03.2008 14:08:52 ]



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trunx
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@wauzi: dein Schwimmer startet doch in (0,0) Richtung (1,1), d.h. er ist auf der Geraden y=x, schwimmt ein winziges Stückchen und biegt dann nach unten Richtung (1,-1) ab, sprich er verläßt die Gerade y=x. Wenn nun der Läufer ein winziges Stückchen in Richtung (-1,1) gelaufen ist und nach dem Knick des Schwimmers wieder zurück läuft auf (-1,-1), dann trifft der Schwimmer eher die x-Achse, also y=0 und nicht y=x, d.h. es gibt keine Eck-Eck-Position oder?

bye trunx



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